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f(x)=|x−2|는 x=2에서 V자로 꺾이는 뾰족점을 가진다. 곱 h(x)=f(x)g(x)에서 g는 다항 조각이라 매끈하므로, 미분이 위험한 곳은 x=2 한 점뿐이다. 게다가 x=2에서 |x−2|=0이라 h(2)=0이 양쪽 모두 자동으로 성립 → 연속은 공짜, 따질 건 미분가능성뿐이다.
◀ 절댓값의 꼭짓점 x=2만 검사하면 된다
g(x)는 x<2에서 x, x≥2에서 x+a로 x=2에서 값이 튀는(불연속) 조각함수다. 이럴 땐 |x−2|를 구간별로 풀어 h를 다항식으로 쓴 뒤 좌·우 도함수를 직접 맞춰야 한다. x<2: h=−x²+2x → h′=−2x+2 → h′(2−)=−2. x>2: h=x²+(a−2)x−2a → h′=2x+a−2 → h′(2+)=2+a. 같게 두면 2+a=−2 → a=−4.
◀ g가 불연속이면 단순 곱미분 공식이 안 통한다
a=−4이므로 x=a=−4는 x<2 영역 → 여기선 g(x)=x, g′(x)=1. y=x²g(x)이면 y′=2x·g(x)+x²·g′(x). x=−4 대입: 2(−4)·g(−4)+16·g′(−4)=(−8)(−4)+16(1)=32+16=48. x가 어느 조각에 속하는지부터 확정하는 게 핵심.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 단계 문제다. ① |x−2|의 뾰족점 x=2에서 곱 h=f·g가 미분가능하도록 a를 정하고, ② 정해진 a로 x²g(x)의 x=a 미분계수를 구한다. 핵심은 g가 x=2에서 불연속이라는 점 — 이 때문에 "뾰족점을 g(2)=0으로 죽인다"는 흔한 공식이 통하지 않고, 구간별로 전개해 좌·우 도함수를 직접 맞추는 정공법을 써야 한다.
실수 포인트 ① : g(2)=0, 즉 2+a=0에서 a=−2로 답하는 실수. g가 x=2에서 불연속이라 이 공식은 성립하지 않는다. 반드시 h를 구간별 다항식으로 전개해 h′(2−)=−2, h′(2+)=2+a를 맞춰 a=−4를 얻어야 한다.
실수 포인트 ② : 두 번째 단계에서 x=a=−4를 x≥2 조각(g=x+a)에 넣는 실수. −4는 x<2 영역이므로 g(x)=x, g′(x)=1을 써야 한다. 조각함수는 대입 전에 "그 x가 어느 구간인지"부터 확인하라.
실수 포인트 ③ : y′=2xg(x)+x²g′(x)에서 둘째 항의 x²=16을 빠뜨리거나 g′를 0으로 착각하는 실수. g′(−4)=1이므로 32+16=48이다.
정답 : ② (48)