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f(x)=x²+ax+b로 놓으면 f(x+1)−f(x)={(x+1)²+a(x+1)+b}−(x²+ax+b)=2x+a+1. x²항이 서로 지워져 반드시 일차식이 된다. 계차를 미리 전개해 두면 x≥1 조각의 정체가 "기울기 2인 직선"임이 한눈에 보인다.
◀ 이차함수 계차 = 일차식(기울기가 최고차의 2배)
조각함수가 x=1에서 미분가능하려면 ①연속과 ②좌·우 도함수 일치가 모두 필요하다. 연속: f(1)=계차(1) → 1+a+b=a+3 → b=2. 도함수: f′(1)=(2x+a+1)′ → 2+a=2 → a=0. 미지수가 2개면 미분가능 조건 2개가 정확히 2개의 방정식을 준다.
◀ 연속으로 b, 도함수로 a — 각개격파
a=0, b=2이므로 f(x)=x²+2. 따라서 f(5)=5²+2=25+2=27. 연속 조건과 미분 조건을 분리해 하나씩 쓰면 미지수가 깔끔히 떨어진다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 미지수는 f(x)=x²+ax+b의 a, b 두 개. 조건은 "g가 x=1에서 미분가능" 하나지만, 미분가능은 사실 연속 + 도함수 일치 두 조건을 품고 있어 방정식이 정확히 2개 나온다. 먼저 계차 f(x+1)−f(x)를 전개하면 2x+a+1이라는 일차식이 되어 x≥1 조각이 확정된다.
실수 포인트 ① : 미분가능을 도함수 일치만으로 처리하고 연속 조건을 빠뜨리는 실수. 연속(1+a+b=a+3 → b=2)을 놓치면 b를 못 구한다. 미분가능은 언제나 "연속이 먼저, 도함수 일치가 그다음"이다.
실수 포인트 ② : 계차 f(x+1)−f(x)를 전개할 때 (x+1)² 및 a(x+1)의 전개를 틀려 상수항을 놓치는 실수. 정확히 하면 2x+a+1이고, x=1에서 값은 a+3, 기울기는 2다.
실수 포인트 ③ : a=0, b=2를 구해놓고 f(5)에 엉뚱한 값을 대입하는 실수. f(x)=x²+2이므로 f(5)=25+2=27이다.
정답 : 27