문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
핵심 스킬 하나로 끝난다. h(x)=|x−k|·g(x)가 절댓값 꺾이는 점 x=k에서 미분가능하려면 g(k)=0이기만 하면 된다. 구간 나눠 좌·우 도함수 극한을 비교하는 정석은 백업용, 실전은 이 한 줄이 본선이다.
◀ 절댓값×다항식 미분가능 = 다항식이 꺾인점에서 0
|x−k|는 x=k에서 뾰족하게 꺾인다. 여기에 (x−k)를 인수로 가진 다항식을 곱하면, 꺾이는 순간 g가 0으로 눌러줘서 뾰족함이 매끄럽게 펴진다. 즉 g가 (x−k)를 인수로 가져야 하고, 이는 곧 g(k)=0이라는 조건이다.
◀ 인수 (x−k)가 절댓값의 뾰족함을 지워버린다
f(x)=|x+3|이므로 꺾이는 점은 x+3=0, 즉 x=−3. g(x)=2x+a에 대입해 g(−3)=−6+a=0 → a=6. 정석대로 h′(x) 좌우극한(6−a와 −6+a)을 같게 놓아도 2a=12 → a=6으로 똑같이 나온다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘절댓값함수 × 다항식’이 절댓값이 꺾이는 점에서 미분가능하냐는 문제는, 겉보기엔 구간을 나눠 좌·우 도함수를 비교해야 할 것 같지만 실제로는 다항식이 그 꺾인점에서 0이면 된다는 한 줄로 압축된다. |x+3|의 꺾인점 x=−3에서 g(−3)=0을 풀면 a가 즉시 나온다.
실수 포인트 ① : 꺾이는 점의 부호. |x+3|를 보고 k=3으로 착각하기 쉽다. x+3=0이므로 k=−3이다.
실수 포인트 ② : 정석 풀이로 갈 때 좌·우 도함수 극한의 부호. x<−3 쪽 h′는 −4x−6−a, x>−3 쪽은 4x+6+a. x=−3 대입하면 6−a와 −6+a가 되고, 같다고 놓으면 2a=12인데 여기서 2를 놓쳐 a=12로 답하는 실수.
실수 포인트 ③ : g(k)=0 스킬을 알아도 g(−3)=−6+a에서 부호를 헷갈려 a=−6으로 두는 실수. −6+a=0 → a=6.
정답 : ③ (a=6)