문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
이 문제 첫 관문. limx→2[f(x2)−1]/(x−2)=−2에서 분모(x−2)→0인데 극한이 −2로 유한하다. 그러면 분자도 반드시 0으로 가야 한다. 즉 f(22)−1=0 → f(4)=1이 공짜로 튀어나온다. 0/0 꼴은 값 하나를 거저 주는 선물이다.
◀ 유한극한 + 분모→0 ⟹ 분자→0, 함숫값 하나 확정
lim[f(x2)−f(4)]/(x−2)를 그대로 두면 안 보인다. (x−2)(x+2)=x2−4로 만들어 [f(x2)−f(4)]/(x2−4)×(x+2)로 쪼갠다. 앞 덩어리는 x2=t 치환하면 t→4에서 f'(4), 뒤 (x+2)는 그냥 대입해 4. 즉 4f'(4)=−2 → f'(4)=−1/2.
◀ 분모를 x2−4로 맞추면 미분계수 정의가 보인다
분자 x2f(4)−16f(x)에 −x2f(x)+x2f(x)를 슬쩍 끼워넣으면 −x2{f(x)−f(4)} + f(x)(x2−16)로 갈라진다. 앞은 −x2×[f(x)−f(4)]/(x−4)→−16f'(4), 뒤는 f(x)(x+4)(x−4)/(x−4)→8f(4). 합치면 −16f'(4)+8f(4).
◀ 없는 항을 더하고 빼서 미분계수 형태를 인공으로 만든다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 미분계수의 정의 lim[f(x)−f(a)]/(x−a)=f'(a)를 양방향으로 쓰는 문제다. 주어진 조건에서는 치환(x2=t)으로 f'(4)=−1/2를 뽑고, 구하는 식에서는 항 끼워넣기로 f'(4)와 f(4)의 조합을 만든다. 두 곳 모두 "분모를 (x−a)로, 분자를 f(x)−f(a)로" 맞추는 게 전부다.
실수 포인트 ① : STEP A에서 (x+2)까지 미분계수에 끌고 들어가 f'(4)를 잘못 잡는 실수. [f(x2)−f(4)]/(x2−4)만 f'(4)이고 (x+2)→4는 따로 곱하는 상수다. 그래서 4f'(4)=−2.
실수 포인트 ② : 끼워넣기 후 f(x)(x2−16)=f(x)(x+4)(x−4)로 인수분해하는 걸 놓쳐 극한을 못 끝내는 실수. (x−4)가 약분되면 남는 건 f(4)×(4+4)=8f(4)다.
실수 포인트 ③ : 부호 처리. −16f'(4)+8f(4)=−16×(−1/2)+8×1=8+8=16. f'(4)가 음수라 앞 항이 +8로 바뀌는 걸 놓치면 0이 나온다.
정답 : 16