문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
(가), (나) 모두 x→1에서 분모 (x−1)→0이다. 극한값이 유한하게 존재하려면 분자도 0으로 가야 한다. (가)에서 lim{f(x)−g(x)}=0 → f(1)−g(1)=0 → f(1)=g(1). 이 ‘분모0→분자0’ 신호가 조건에서 f(1)=g(1)이라는 등식을 공짜로 뽑아준다.
◀ 0/0 신호: 분모가 죽으면 분자도 죽는다
(가)의 극한값은 f′(1)−g′(1)=5. (나)는 f(1)=g(1)이라 2f(1)=f(1)+g(1)이므로 분자가 {f(x)−f(1)}+{g(x)−g(1)}로 갈라져 f′(1)+g′(1)=7. 극한값을 숫자가 아니라 ‘미분계수의 조합’으로 번역하는 순간 문제가 연립방정식으로 바뀐다.
◀ 극한값 = 미분계수의 정의로 번역
f′−g′=5, f′+g′=7을 더하고 빼면 f′(1)=6, g′(1)=1. (다)에서도 분자→0이라 a=f(1), 그리고 극한값=f′(1)=6=b×g(1). 여기서 g(1)=f(1)=a이므로 ab=a×b=g(1)×b=b×g(1)=6. a와 b의 개별값을 몰라도 곱만 딱 나온다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (가),(나) 모두 분모가 0으로 가므로 분자도 0 → f(1)=g(1). 이어 각 극한을 미분계수 조합으로 번역해 f′(1)−g′(1)=5, f′(1)+g′(1)=7을 얻고 연립하면 f′(1)=6, g′(1)=1. (다)도 같은 논리로 a=f(1)이고 극한값=f′(1)=6=b×g(1), g(1)=a이므로 ab=6.
실수 포인트 ① : (나)의 −2f(1)을 처리 못 하고 멈추는 실수. f(1)=g(1)이니 2f(1)=f(1)+g(1)으로 바꿔 분자를 두 미분계수 정의로 가른다.
실수 포인트 ② : ab를 구하려고 a,b를 억지로 각각 구하다 꼬이는 실수. g(1)=a이므로 b×g(1)=ab가 곧 극한값 6이다.
실수 포인트 ③ : 연립에서 부호를 놓쳐 f′(1),g′(1)을 뒤바꾸는 실수. 두 식을 더하면 2f′(1)=12, 빼면 2g′(1)=2이다.
정답 : ③ (ab=6)