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(가)의 (x−1)f(x)=x³−ax+3은 모든 실수에서 성립하는 항등식이다. x=1을 넣으면 좌변=0이므로 우변도 0: 1−a+3=0 → a=4. (x−k)f(x)꼴이 보이면 ‘x=k 대입’으로 상수부터 잡는 게 1번 스킬이다.
◀ (x−k)가 곱해져 있으면 x=k 대입이 첫 수
(x−1)f(x)=x³−4x+3에서 x≠1일 때 f(x)=(x³−4x+3)/(x−1). x=1이 분자의 근이므로 (x−1)로 딱 나눠떨어진다. 조립제법으로 x³−4x+3=(x−1)(x²+x−3). 따라서 f(x)=x²+x−3 (x≠1)이고, 다항식이라 x=1을 뺀 모든 곳에서 연속이다.
◀ 분자 근 = 분모 근이면 나눗셈은 항상 깨끗하게 떨어진다
(나)의 limx→bf(x)=f(b)−6은 극한값과 함숫값이 다르다는 뜻, 즉 x=b에서 불연속이라는 신호다. f는 x=1만 빼고 연속이니 불연속이 될 수 있는 곳은 x=1뿐 → b=1. f(1)은 정의로 주어진 게 아니라 (나)를 역산: f(1)=limx→1f(x)+6=(−1)+6=5. 따라서 a+f(b)=4+5=9.
◀ ‘극한≠함숫값’이라는 문장은 곧 ‘불연속점 지정’
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (가)는 a와 f(x)의 식을 주고, (나)는 f가 어디서 끊기는지를 준다. (가)로 f(x)=x²+x−3 (x≠1)까지 완성한 뒤, (나)의 ‘극한과 함숫값의 차이’를 불연속 신호로 읽는 게 열쇠다.
실수 포인트 ① : f(x)=x²+x−3을 구하고 곧바로 ‘f(1)=−1이겠지’라고 단정하는 실수. 이 식은 x≠1에서만 성립하고, x=1의 함숫값은 (나)가 따로 정한다.
실수 포인트 ② : (나)를 lim=f(b)−6 그대로 두고 방향을 헷갈리는 실수. 함숫값이 극한보다 6 크므로 f(1)=lim+6으로 세워야 한다.
실수 포인트 ③ : b를 막연한 상수로만 보고 불연속점이 x=1임을 못 찾는 실수. 연속인 곳에선 lim=함숫값이라 (나)가 성립할 수 없으니, b는 반드시 불연속점이어야 한다.
정답 : a+f(b)=9