문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g(x)=f(x)/(x−a)가 x=a에서 연속이려면 limx→a f(x)/(x−a)=g(a)=a+1이 유한값이어야 한다. 분모 (x−a)→0인데 극한이 존재하니 분자 f(a)=0이 강제된다. 즉 f(x)는 (x−a)를 인수로 갖는다. ‘분모→0인데 극한 존재’는 언제나 ‘분자→0’으로 번역하라.
◀ 연속조건 = 인수정리, f(x)가 (x−a)를 품는다
g(x)=f(x)/(x−a)에서 g(x)−2x가 유한값으로 수렴하려면 g(x)의 최고차가 x(일차)여야 한다. 즉 f(x)/(x−a)≈2x이므로 f는 이차항 계수가 2인 이차함수. 여기에 f(a)=0을 더하면 곧바로 f(x)=2(x−a)(x−b) 꼴로 세팅된다. 미지수를 늘리지 말고 조건을 인수분해 형태에 바로 녹여라.
◀ 극한의 차수 정보 → 미정계수 개수를 최소로 압축
f(x)=2(x−a)(x−b)를 넣으면 x≠a에서 g(x)=2(x−a)(x−b)/(x−a)=2(x−b). 따라서 g(x)−2x=2(x−b)−2x=−2b (상수). lim{g(x)−2x}=−2b=4에서 b=−2가 한 방에 나온다. 다시 x=a 연속조건 g(a)=a+1로 돌아가 2(a−b)=a+1 → 2(a+2)=a+1 → a=−3. 결국 f(x)=2(x+3)(x+2), f(2)=2·5·4=40.
◀ 인수 소거로 유리식을 일차식으로 → 극한이 상수로 붕괴
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 조건(연속, 무한대극한)이 각각 ‘f(a)=0’과 ‘최고차 2인 이차함수’를 주는데, 이 둘을 f(x)=2(x−a)(x−b) 한 줄로 합치는 게 핵심이다. 미정계수를 a, b 둘로 압축하면 남은 두 조건으로 정확히 풀린다.
실수 포인트 ① : g가 x=a에서 연속인데 ‘분자→0’을 놓쳐 f(a)=0을 안 쓰는 실수. 분모가 0으로 가는데 극한이 존재하면 분자도 반드시 0이다.
실수 포인트 ② : lim{g(x)−2x}를 통분해 유리식으로 억지로 전개하려다 계산이 길어지는 실수. f를 인수분해꼴로 세팅하면 (x−a)가 저절로 소거돼 상수만 남는다.
실수 포인트 ③ : a=−3, b=−2를 구한 뒤 부호를 헷갈려 f(x)=2(x−3)(x−2)로 잘못 쓰는 실수. (x−a)=(x−(−3))=(x+3)임에 주의.
정답 : f(2)=40