문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
(나) (x−a)f(x)=x²−4x+3에서 x≠a일 때 f(x)=(x²−4x+3)/(x−a). f가 모든 실수에서 연속이므로 x=a에서도 유한, 즉 분모→0일 때 분자도 0이어야 한다: a²−4a+3=0 → (a−1)(a−3)=0 → a=1 또는 a=3. 상수 a는 곧 우변 이차식의 근이다.
◀ 연속 = 분모 근이 분자 근, a 후보 2개 확보
a=1이면 (x−1)f(x)=x²−4x+3에 x=2 대입: 1·f(2)=−1 → f(2)=−1(<0) 로 (가) 위반. a=3이면 (x−3)f(x)=x²−4x+3에 x=2 대입: (−1)f(2)=−1 → f(2)=1(>0)로 (가) 만족. 따라서 a=3. 후보가 여럿이면 ‘남는 부등식 조건’이 판별기가 된다.
◀ 부등식 조건은 후보를 걸러내는 필터
f(x)를 굳이 구하지 말고 (x−3)f(x)=x²−4x+3에 x=5를 바로 대입: (5−3)f(5)=25−20+3=8 → 2f(5)=8 → f(5)=4. 항등식 문제에서 특정 함숫값 하나만 필요하면 그 x를 직접 넣는 게 가장 빠르다.
◀ 값 하나만 필요하면 식을 전부 구하지 마라
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (x−a)f(x)=x²−4x+3은 항등식이고 f가 연속이라는 게 전부다. 연속조건이 a를 x²−4x+3의 근으로 못박고, 남은 부등식 (가) f(2)>0이 두 후보 중 하나를 고른다. f(5)는 항등식 직접대입으로 마무리.
실수 포인트 ① : a=1, a=3 두 후보를 구하고 (가)로 거르지 않은 채 아무거나 쓰는 실수. f(2)>0을 반드시 확인해 a=3만 남겨야 한다.
실수 포인트 ② : f(5)를 구하려고 f(x)=(x²−4x+3)/(x−3)을 전개·약분하다 시간을 버리는 실수. 필요한 건 f(5) 하나뿐이니 x=5 대입이 정석이다.
실수 포인트 ③ : x=5 대입 시 좌변 계수 (5−3)=2를 빼먹고 f(5)=8로 답하는 실수. 2f(5)=8에서 f(5)=4다.
정답 : f(5)=4