문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
구하라는 게 y절편이니 직선을 l: y=x+g(t)로 두고 g(t)를 미지수째 끌고 간다. 곡선 y=x²과 연립하면 x²=x+g(t), 즉 x²−x−g(t)=0. 교점 A, B의 x좌표 두 개가 이 이차방정식의 두 근이다. 좌표를 직접 구하지 말고 근 α, β로 다뤄야 근과 계수의 관계(α+β=1, αβ=−g(t))가 열린다.
◀ 구하는 값을 미지수로 세우는 게 첫 단추
직선 l이 기울기 1이라 x축과 45°. AB(빗변)=2t면 수평거리 β−α=AB·cos45°=2t·(√2/2)=√2t. 이걸 (β−α)²=(α+β)²−4αβ에 넣으면 (√2t)²=1−4·(−g(t)), 즉 2t²=1+4g(t) → g(t)=(2t²−1)/4. 거리공식을 전개하는 대신 45° 삼각비로 한 줄에 끝낸다.
◀ 기울기 1 = 45°, 빗변×cos45°가 지름길
g(t)/t²=(2t²−1)/(4t²)에서 분모·분자를 t²로 나누면 (2−1/t²)/4. t→∞이면 1/t²→0이라 (2−0)/4=1/2. 다항식 비율의 극한은 언제나 최고차항으로 나눠 나머지를 0으로 소거하는 게 정석이다.
◀ 이 문제의 정답 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘직선 l의 y절편을 g(t)로 하자’는 문장이 그대로 힌트다. y절편을 미지수로 두면 l: y=x+g(t)이고, 곡선과 연립해 x²−x−g(t)=0. 교점 두 개를 근 α, β로 보고 근과 계수의 관계(α+β=1, αβ=−g(t))로 처리하면 좌표를 하나도 안 구해도 된다. AB는 기울기 1이라 45° 빗변이므로 밑변 β−α=√2t만 알면 (β−α)²=(α+β)²−4αβ로 g(t)가 바로 나온다.
실수 포인트 ① : AB²=(α−β)²로만 쓰고 y차이를 빼먹는 실수. 두 점 모두 직선 위라 y차이=x차이, 그래서 AB²=2(α−β)²다. 계수 2를 놓치면 g(t)가 절반으로 틀어진다. 45° 삼각비로 β−α=√2t를 쓰면 이 실수가 원천봉쇄된다.
실수 포인트 ② : αβ의 부호. x²−x−g(t)=0에서 상수항이 −g(t)이므로 αβ=−g(t)다. 부호를 +로 넣으면 답이 뒤집힌다.
실수 포인트 ③ : 극한에서 −1/t²을 상수로 착각해 남기는 실수. t→∞이면 반드시 0으로 사라져 (2−0)/4=1/2이 된다.
정답 : ④ (1/2)