문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
원이 y=x, 즉 x−y=0에 접하니 반지름 r은 중심 (a, a+1/a)에서 이 직선까지의 거리와 같다. r = |a−(a+1/a)|/√(1²+(−1)²) = (1/a)/√2 = √2/(2a). ‘접한다’는 말은 ‘중심에서 접선까지 거리 = 반지름’이라는 등식으로 즉시 번역하라.
◀ 접선 조건 = 중심에서 접선까지 거리 = r
직선 y=−2x−1, 즉 2x+y+1=0에서 원 위의 점까지 최솟값 d는, 중심에서 그 직선까지 거리를 구한 뒤 반지름을 빼면 된다. d = |2a+(a+1/a)+1|/√5 − √2/(2a). 원과 직선이 떨어져 있을 때 최단거리는 ‘중심까지 거리에서 r을 뺀 값’이라는 그림을 늘 떠올려라.
◀ 점(직선)-원 최단거리 = 중심까지 거리 − 반지름 r
d를 a식으로 정리하면 분자의 최고차는 2√5·3a² = 6√5 a², 분모는 10a²이다. 따라서 d/a는 a²로 나누는 순간 1/a, 1/a² 꼴이 전부 0으로 죽고 6√5/10 = 3√5/5만 남는다. √가 섞여도 유리식 ∞ 극한의 ‘최고차항 계수비’ 원칙은 그대로다.
◀ 최고차항 계수비 6√5/10 = 3√5/5
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ①접선 조건으로 반지름 r=√2/(2a) ②점과 직선 거리 공식으로 중심~직선(2x+y+1=0) 거리 ③최단거리 d = (거리)−r ④a²로 나눠 최고차항비 극한. 핵심은 거리 공식을 두 번 쓰되(하나는 반지름용 y=x, 하나는 최단거리용 2x+y+1=0) 두 직선을 헷갈리지 않는 것이다.
실수 포인트 ① : 반지름을 구할 때 직선을 x−y=0으로 정리하지 않고 분모 √를 틀리는 실수. 점과 직선 거리는 반드시 ax+by+c=0 꼴로 만든 뒤 √(a²+b²)로 나눈다.
실수 포인트 ② : 최단거리에서 반지름을 빼지 않고 중심~직선 거리 자체를 d로 두는 실수. 묻는 것은 ‘원 위의 점까지’이므로 반지름 r을 반드시 빼야 한다.
실수 포인트 ③ : 극한에서 √5, √2가 섞여 최고차항 계수를 잘못 잡는 실수. d/a의 분자 최고차는 6√5 a², 분모는 10a²이므로 6√5/10 = 3√5/5이다.
정답 : ① (3√5/5)