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y=tx+t+1과 y=x²−tx−1을 연립하면 x²−tx−1=tx+t+1, 정리하면 x²−2tx−t−2=0. 교점 A, B의 x좌표가 이 두 근 α, β다. 근의공식으로 α=t−√(t²+t+2), β=t+√(t²+t+2)이므로 β−α=2√(t²+t+2). 좌표를 직접 안 구하고 근으로 밀어붙인다.
◀ 교점 = 연립방정식의 근, 판별식이 거리로 이어진다
직선 l 기울기가 t라 두 점의 y차이=t×(x차이). 그래서 AB=√{(Δx)²+(tΔx)²}=|Δx|√(1+t²)=(β−α)√(t²+1). 기울기 m인 직선 위 두 점 사이 거리는 항상 |Δx|√(1+m²)—이 공식 하나로 y좌표 계산을 통째로 생략한다.
◀ 기울기 m 직선의 두 점 거리 공식은 무조건 암기
AB=2√(t²+t+2)·√(t²+1)이므로 AB/t²=2√{(t²+t+2)(t²+1)/t⁴}. √ 안을 t⁴로 나누면 (1+1/t+2/t²)(1+1/t²)→(1)(1). 따라서 2√1=2. 무리식 극한은 √를 통째로 t의 적당한 차수로 나눠 안쪽을 유한값으로 만드는 게 핵심이다.
◀ 이 문제의 정답 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 점 사이 거리 AB를 t의 식으로 세우는 게 전부다. 교점의 x좌표는 두 식을 연립한 x²−2tx−t−2=0의 두 근이고, β−α는 판별식으로 2√(t²+t+2). 직선 기울기가 t라 AB=(β−α)√(1+t²)—기울기 m 직선 위 두 점 거리=|Δx|√(1+m²) 공식을 쓰면 y좌표를 안 구해도 된다.
실수 포인트 ① : 연립할 때 이항 부호 실수. x²−tx−1=tx+t+1 → x²−2tx−t−2=0. tx를 좌변으로 옮길 때 −2tx가 되는 것, 상수가 −1−t−1=−t−2인 것을 정확히 챙겨라.
실수 포인트 ② : AB에서 √(1+t²)을 빼먹고 β−α만 답으로 쓰는 실수. 기울기가 0이 아닌 이상 수직거리까지 더해야 하고, 그 배율이 √(1+t²)다.
실수 포인트 ③ : 극한에서 √ 밖의 계수 2를 놓치는 실수. AB=2√(…)이므로 최종 답에도 2가 살아남아 2×√1=2가 된다.
정답 : ④ (2)