문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
P(t, t²)이고 O가 원점이라 직선 OP의 기울기는 t²/t=t다. 원점을 지나는 직선의 기울기는 언제나 그 점의 (y좌표)/(x좌표)—이 감각이 있어야 곧바로 수직 조건으로 넘어갈 수 있다.
◀ 원점 직선 기울기 = 점의 y/x
OP에 수직인 l의 기울기는 −1/t. P를 지나므로 l: y−t²=−1/t(x−t), 즉 y=−x/t+t²+1. y축과의 교점 A는 x=0을 넣어 A(0, t²+1). A가 y축 위 점이라 OA=t²+1. y절편=OA라는 연결이 이 문제의 뼈대다.
◀ y축 교점 = y절편, 원점과의 거리 OA로 직결
OA−OP=(t²+1)−√(t²+t⁴)=(t²+1)−t√(t²+1). √(t²+1)로 묶으면 √(t²+1)(√(t²+1)−t). 여기에 켤레 (√(t²+1)+t)를 분모·분자에 곱하면 분자가 √(t²+1)·1로 정리되고, t로 나눠 1/(1+1)=1/2. ∞−∞는 반드시 유리화로 유한하게 만든다.
◀ 이 문제의 정답 포인트 — ∞−∞ 유리화
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘수직’과 ‘y축 교점’ 두 단어가 길을 다 알려준다. OP 기울기 t²/t=t → 수직 직선 l 기울기 −1/t → l의 방정식 → x=0 대입한 y절편이 곧 OA=t²+1. OP=√(t²+t⁴)=t√(t²+1). OA−OP는 둘 다 ∞로 가는 ∞−∞ 꼴이므로 켤레로 유리화한다.
실수 포인트 ① : 수직 기울기를 −t로 잘못 쓰는 실수. OP 기울기가 t니까 수직은 −1/t다. 곱해서 −1이 되는지 항상 확인하라.
실수 포인트 ② : OA를 구할 때 A의 y좌표(=y절편)를 그대로 OA로 못 쓰고 헤매는 실수. A(0, t²+1)이 y축 위 점이라 OA는 y좌표=t²+1이다.
실수 포인트 ③ : ∞−∞를 그냥 0이나 ∞로 처리하는 실수. √를 묶고 켤레를 곱하는 유리화가 유일한 길이다. √(t²+1)(√(t²+1)−t)에서 켤레 곱 → √(t²+1)/(√(t²+1)+t), t로 나눠 1/2.
정답 : ① (1/2)