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표준형 (x−p)²+(y−q)²=r²에서 중심(p,q)·반지름 r을 즉시 뽑는다. 여기선 중심 C=(0,a), 반지름 a. C가 y축 위에 있으니 OC=a가 계산 없이 나온다. 도형 극한은 필요한 좌표를 전부 문자 a로 적어놓고 시작하는 게 절반이다.
◀ 원 방정식은 중심·반지름부터 뽑고 시작
포물선 y=−x²+a에서 x²=a−y. 이걸 원식에 넣으면 x가 사라지고 y²−(2a+1)y+a=0. 교점의 x가 아니라 OQ=P의 y좌표만 필요하니, 처음부터 x를 죽이고 y만 남기는 게 최단거리다.
◀ 필요한 좌표(y)만 남기고 나머지는 소거
OQ/OC = [2a+1−√(4a²+1)]/(2a)는 a→0에서 0/0. 분모·분자에 (2a+1+√(4a²+1))을 곱해 유리화하면 분자가 4a로 깔끔히 정리돼 약분된다. √가 든 0/0은 켤레를 곱하라는 신호다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 원과 포물선 교점 P의 y좌표(=OQ)와 원의 중심까지 거리(=OC=a)의 비를 a→0에서 본다. 중심이 (0,a)라 OC=a는 즉시 나오고, OQ는 두 곡선을 연립해 y의 이차식으로 만든 뒤 0<y<a 조건으로 근을 하나 골라낸다. 마지막은 √가 든 0/0을 유리화로 처리한다.
실수 포인트 ① : 근의 공식에서 ± 중 어느 부호를 택할지 놓치는 실수. P는 0<y<a라 작은 근(−부호)을 골라야 한다. +부호를 잡으면 y>a가 되어 원 위쪽 교점이 되어버린다.
실수 포인트 ② : 판별식 (2a+1)²−4a를 전개하다 부호를 놓치는 실수. 4a²+4a+1−4a=4a²+1로 4a가 소거되는 걸 반드시 확인하라.
실수 포인트 ③ : 유리화 후 a→0 대입에서 √(4·0+1)을 √0=0으로 착각하는 실수. √(4a²+1)의 a=0 값은 1이다. 답은 2/(0+1+1)=1.
정답 : 1