문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
내접원 중심에서 세 변에 그은 반지름 r이 세 조각 삼각형의 공통 높이가 된다. 넓이를 쪼개면 S=½r(a+b+c), 즉 r=2S/(a+b+c). 내접원 반지름 문제는 이 넓이 분할이 왕도다.
◀ 내접원 r = 2S ÷ 둘레
∠O가 직각이므로 r=(OA+OB−AB)/2=(a+4−√(a²+16))/2. 원 밖 점에서 그은 접선 길이가 같다는 성질에서 바로 나온다. 직각삼각형 내접원은 이 한 줄로 넓이 계산을 건너뛴다.
◀ 직각삼각형은 (밑변+높이−빗변)/2
r=4a/(4+a+√(a²+16))이니 a/r=(4+a+√(a²+16))/4로 역수를 취한다. a→0이면 √(a²+16)=√16=4. 그래서 (4+0+4)/4=2. 대입 전에 a/r 꼴로 √를 분자로 올려두는 게 핵심.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 내접원 반지름 r을 a로 표현하는 게 전부다. 두 길이 있다 — ① 넓이 분할 r=2S/(둘레), ② 직각삼각형 특수공식 r=(밑변+높이−빗변)/2. 어느 쪽이든 r=4a/(4+a+√(a²+16)). a/r로 뒤집어 √(a²+16)→4를 대입하면 끝난다.
실수 포인트 ① : a/r을 구하랬는데 r만 구하고 멈추는 실수. 반드시 역수를 취해 a/r=(4+a+√(a²+16))/4로 만든 뒤 극한을 봐라.
실수 포인트 ② : √(a²+16)에 a=0을 넣을 때 근호를 벗기지 않고 16으로 두는 실수. √16=4다.
실수 포인트 ③ : 빗변 AB=√(a²+16)에서 상수 16을 놓치는 실수. B(0,4)이므로 OB=4, OB²=16임을 기억하라. 최종값은 (4+4)/4=2.
정답 : 2