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y=x²와 y=x+t를 연립하면 x²−x−t=0. 두 근 α,β를 각각 구하지 말고 α+β=1, αβ=−t만 챙겨라. A(β,β²), B(α,α²)로 문자만 놓으면 뒤 계산이 전부 합·곱으로 굴러간다.
◀ 근은 구하지 말고 합·곱만 챙긴다
AH=β−α=√((β−α)²)=√((α+β)²−4αβ)=√(1+4t). |두 근 차|=√(합²−4곱)은 근의 공식을 안 써도 되는 필살기다. 좌표를 일일이 빼는 대신 공식 하나로 끝낸다.
◀ |β−α|=√((α+β)²−4αβ)
A(β,β²)와 높이가 같은 곡선 위 다른 점 C는 대칭점 (−β,β²). 따라서 CH=α−(−β)=α+β=1. 포물선 좌우대칭을 쓰면 C를 다시 연립할 필요가 없다. AH−CH=√(1+4t)−1을 유리화하면 답 2.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 교점 두 개의 x좌표를 이차방정식 x²−x−t=0의 두 근 α,β로 잡고, 근과 계수의 관계(α+β=1, αβ=−t)만으로 밀어붙인다. AH는 두 x좌표 차 |β−α|=√(1+4t), CH는 포물선 대칭점을 써서 α+β=1. 차를 만든 뒤 유리화한다.
실수 포인트 ① : C의 좌표를 다시 연립해 구하려다 시간을 버리는 실수. y=x²의 좌우대칭으로 C=(−β,β²)임을 바로 써라.
실수 포인트 ② : AH−CH=√(1+4t)−1의 0/0을 유리화 없이 t=0 대입해 멈추는 실수. (√(1+4t)−1)(√(1+4t)+1)=4t로 분자를 정리하면 t가 약분된다.
실수 포인트 ③ : 근과 계수 관계에서 αβ의 부호를 놓치는 실수. x²−x−t=0이므로 곱은 상수항 −t다. (β−α)²=(α+β)²−4αβ=1−4(−t)=1+4t. 최종 극한은 4/(√1+1)=2.
정답 : ② (2)