문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
limx→a (x²−a²)/(x−a)에서 x²−a²=(x−a)(x+a). x−a를 약분하면 limx→a(x+a)=2a. 이 값이 2이므로 2a=2 → a=1. 0/0 분수 극한의 대부분은 ‘인수분해 → 약분’으로 끝난다. 대입 전에 공통인수부터 찾는 습관을 들여라.
◀ 0/0은 곧 인수분해로 약분하라는 신호
x→∞에서 √(x²+ax)−√(x²+bx)를 켤레로 유리화하면 분자 (a−b)x, 분모 √(x²+ax)+√(x²+bx). x로 나누면 분모가 √(1+a/x)+√(1+b/x)→2가 되어 극한값은 (a−b)/2. 즉 이 꼴은 무조건 (앞계수−뒤계수)/2. a=1이니 (1−b)/2=8 → 1−b=16 → b=−15.
◀ √(x²+ax)−√(x²+bx) → (a−b)/2 공식으로 바로 꽂기
a는 첫 조건(x→a 극한)에서, b는 둘째 조건(x→∞ 극한)에서 나온다. 먼저 a=1을 확정하고 그 a를 둘째 식에 넣어 b를 구하는 순서가 핵심이다. a=1, b=−15 → a+b=−14.
◀ 조건–미지수 짝짓기가 미정계수 문제의 뼈대
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 조건, 두 미지수다. 각 조건이 어느 미지수를 잡아주는지 짝을 지어라. 첫 조건은 인수분해→2a=2로 a=1, 둘째 조건은 무리식 유리화 공식 (a−b)/2=8로 b=−15가 나온다.
실수 포인트 ① : (a−b)/2 공식의 부호 순서를 뒤집는 실수. √(x²+ax)가 앞, √(x²+bx)가 뒤이므로 (앞−뒤)=(a−b)다. (b−a)로 쓰면 부호가 뒤집혀 답이 틀어진다.
실수 포인트 ② : 분모 √(x²+ax)+√(x²+bx)를 x로 나누면 √(1+a/x)+√(1+b/x)→1+1=2. 이 2를 빠뜨리고 극한값을 (a−b)로만 두는 실수.
실수 포인트 ③ : b=−15인데 음수 부호를 놓쳐 a+b=1+15=16으로 답하는 실수. b가 음수임을 명심.
정답 : ① (a+b=−14)