문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
limx→3 (x−3)/(√(x+a)−2)=b에서 분자 x−3은 x→3일 때 0으로 간다. 그런데 극한값 b가 존재하고 b≠0이라면, 분모가 0이 아닌 값으로 가면 전체가 0/(유한값)=0이 되어 b≠0에 모순이다. 따라서 분모도 0으로 가야 한다: √(3+a)−2=0 → 3+a=4 → a=1. ‘분자→0 + 극한 존재’는 곧 ‘분모→0’이라는 방정식이다.
◀ 0/0 꼴을 강제로 만드는 게 미정계수 결정의 열쇠
a=1이면 분모는 √(x+1)−2. 위아래에 켤레 (√(x+1)+2)를 곱하면 분모가 (x+1)−4=x−3이 되어 분자 x−3과 약분된다. 남는 건 limx→3(√(x+1)+2)=√4+2=4, 즉 b=4. 무리식이 분모에 있으면 무조건 켤레를 곱해 근호를 없애는 게 정석이다.
◀ 근호 차이는 켤레곱으로 (제곱차) 공식 발동
b=4를 넣으면 limx→∞ 4/(√(x²+2x)−x). 분모 √(x²+2x)−x는 ∞−∞ 꼴이므로 켤레 (√(x²+2x)+x)를 곱하면 분모가 (x²+2x)−x²=2x. 그럼 4(√(x²+2x)+x)/2x가 되고, 위아래를 x로 나누면 √ 안이 √(1+2/x)→1로 가서 4(1+1)/2=4.
◀ ∞−∞는 유리화 후 최고차 x로 나눠 상수항을 죽인다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 이 문제는 두 개의 극한이 사슬로 연결돼 있다. 첫 극한으로 a와 b를 확정한 뒤, 그 b를 두 번째 극한에 대입하는 구조다. 첫 극한은 ‘분자→0 + 극한 존재 → 분모→0’으로 a를 잡고(a=1), 유리화·약분으로 b를 잡는다(b=4). 두 번째는 x→∞ 무리식의 표준 처리(유리화 + x로 나누기)로 4가 나온다.
실수 포인트 ① : b≠0 조건을 흘려보내고 분모가 0이 아니어도 된다고 착각하는 실수. 분자가 0인데 극한값이 0이 아니려면 분모도 반드시 0이어야 한다.
실수 포인트 ② : √(x²+2x)를 x√(1+2/x)로 밖으로 뺄 때, x→∞(x>0)라 |x|=x. x→−∞였다면 −x가 되므로 부호 조건을 반드시 확인해야 한다.
실수 포인트 ③ : 마지막 4(1+1)/2를 2로 나누는 걸 잊고 4×2=8로 답하는 실수. 정답은 4다.
정답 : ④ (극한값 = 4)