“
두 점을 잇는 선분의 중점을 지나고, 주어진 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 두 점의 좌표를 이용해 중점의 좌표를 구합니다.
2. 1단계에서 구한 중점의 좌표와 문제에서 주어진 기울기 값을 이용해 점-기울기 형태로 직선의 방정식을 세웁니다.
3. 마지막으로, 구한 직선의 방정식을 문제에서 요구하는 일반형 형태로 변형하여 계수 a, b를 찾습니다.
주의할 점:
중점의 x좌표와 y좌표를 구할 때, 각각 더해서 2로 나누는 기본 공식을 정확히 적용해야 합니다. 최종 형태를 맞추기 위한 식 변형 과정에서 부호 실수가 없도록 주의하세요.
”
중점과 기울기로 직선의 방정식 구하기
“
이차함수와 직선의 교점으로 만들어지는 삼각형이 이등변삼각형이 되도록 하는 모든 조건을 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 이차함수와 직선의 교점 A, B의 좌표를 미지수 k를 포함한 식으로 구합니다.
2. 이등변삼각형이 되려면 세 변 OA, OB, AB 중 두 변의 길이가 같아야 합니다.
3. **(i) OA=OB, (ii) OA=AB, (iii) OB=AB** 의 세 가지 경우로 나누어 각각의 경우에 대해 방정식을 풉니다.
4. 각 경우에서 나온 k값들을 모두 찾고, 중복되지 않는 해의 개수와 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
이등변삼각형이 될 수 있는 세 가지 경우를 모두 빠짐없이 고려하는 것이 가장 중요합니다. 각 경우에 대한 거리 계산을 침착하게 진행해야 합니다.
”
포물선 교점과 이등변삼각형 조건
“
세 지점에서 같은 거리에 있는 지점을 찾는 실생활 활용 문제입니다. 이는 삼각형의 외심을 찾는 것과 동일한 문제입니다.
접근법:
1. 문제의 상황을 좌표평면 위에 표현합니다. 계산을 편하게 하기 위해 한 지점(A)을 원점(0,0)으로 설정하는 것이 좋습니다.
2. 나머지 두 지점 B, C의 좌표를 주어진 정보에 따라 설정합니다.
3. 구하려는 물류창고의 위치를 P(x,y)로 둡니다.
4. 세 지점에서 같은 거리에 있어야 하므로, PA = PB = PC 라는 조건을 이용합니다.
5. PA²=PB² 과 PA²=PC² 라는 두 개의 방정식을 연립하여 x, y 값을 구합니다.
6. 최종적으로 A지점에서 물류창고까지의 거리(PA)를 구합니다.
주의할 점:
문제를 ‘외심 찾기’로 해석하면 풀이의 방향이 명확해집니다. 어떤 점을 원점으로 설정하는지에 따라 계산의 복잡도가 달라질 수 있습니다.
”
실생활과 외심의 좌표
“
정사각형들의 넓이의 비가 주어졌을 때, 변의 길이의 비를 추론하여 좌표를 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 넓이의 비가 1:4:9이므로, 변의 길이의 비는 각 값에 루트를 씌운 1:2:3 입니다.
2. 세 정사각형의 변의 길이를 각각 a, 2a, 3a로 설정합니다.
3. x축 방향으로의 총 길이(OA₄)와 y축 방향의 총 높이(B₄의 y좌표)를 a를 이용해 표현합니다.
4. B₄의 좌표가 (30,18)이라는 단서를 이용해 a값을 확정합니다.
5. a값을 통해 B₁과 B₃의 실제 좌표를 구하고, 두 점 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
닮음비(길이의 비)와 넓이의 비 사이의 관계(제곱)를 정확히 이용하는 것이 핵심입니다. 그림의 각 선분의 길이가 무엇을 의미하는지 파악해야 합니다.
”
넓이의 비와 좌표 계산
“
두 삼각형의 무게중심이 일치할 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 풀이의 편의를 위해 직각삼각형 ABC를 좌표평면 위에 배치합니다. (예: A=(0,9), B=(9,9), C=(9,0))
2. 삼각형 ABC의 무게중심 좌표를 구합니다.
3. 세 점 D, E, F의 좌표를 각각 미지수를 이용해 설정합니다.
4. 삼각형 DEF의 무게중심 좌표를 미지수를 포함한 식으로 나타냅니다.
5. 두 무게중심의 좌표가 같다고 놓고 연립방정식을 풀어 미지수들을 구하여 점 E, F의 좌표를 확정합니다.
6. 두 점 E, F 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
도형 문제를 좌표 위에 올려서 대수적으로 푸는 ‘해석기하’의 전형적인 문제입니다. 처음에 좌표를 어떻게 설정하는지가 풀이의 편의성을 크게 좌우합니다.
”
무게중심 일치 조건 활용
“
선분의 내분점 공식을 행렬의 곱으로 표현하고 해석하는 고난도 융합 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 2:1과 3:1로 내분하는 점의 좌표를 각각 공식대로 씁니다.
2. 내분점의 좌표가 원래 두 점 A, B 좌표의 일차결합으로 표현됨을 확인합니다.
3. 이 관계를 행렬의 곱셈 형태로 표현했을 때, 곱해지는 행렬 X의 성분이 무엇인지 파악합니다.
4. 행렬 X의 (1,1) 성분과 (2,2) 성분을 찾아 곱하면 문제에서 요구하는 답을 얻을 수 있습니다.
주의할 점:
행렬에 대한 기본적인 지식이 필요하지만, 핵심은 내분점 공식의 구조를 이해하는 것입니다. 내분점의 좌표가 x₁, x₂ (또는 y₁, y₂)의 계수들의 합이 1인 선형 결합으로 나타난다는 점을 파악하는 것이 중요합니다.
”
내분점 공식과 행렬 표현
“
삼각형의 내각의 이등분선이 되는 직선의 방정식을 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 먼저 선분 AB와 AC의 길이를 각각 구합니다.
2. [2단계] 내각의 이등분선 정리에 의해, 이등분선과 변 BC의 교점 D는 BC를 AB:AC의 비율로 내분합니다. 이 비율을 이용해 점 D의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 각의 이등분선은 두 점 A와 D를 지나는 직선입니다. 두 점의 좌표를 이용해 직선의 방정식을 구하고, 주어진 방정식의 형태와 비교하여 a,b 값을 찾습니다.
주의할 점:
각의 이등분선 위의 또 다른 점(교점 D)을 내분점 공식을 통해 찾는 것이 문제 해결의 핵심 열쇠입니다.
”
각의 이등분선 방정식 구하기
“
서로 다른 속력으로 움직이는 두 사람 사이의 거리의 최솟값을 구하는 실생활 활용 문제입니다. 이차함수의 최소를 이용합니다.
접근법:
1. [1단계] 교차점을 원점으로 하는 좌표평면을 설정하고, t초 후 두 사람의 위치를 각각 t에 대한 좌표로 나타냅니다.
2. [2단계] t초 후 두 사람 사이의 거리를 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 t에 대한 식으로 표현합니다.
3. [3단계] 거리 식의 루트 안쪽은 t에 대한 이차식이 됩니다. 이 이차식을 완전제곱식으로 변형하여 최솟값을 구합니다. 이 값이 거리의 제곱의 최솟값이므로, 마지막에 루트를 씌워 실제 거리의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
출발점과 진행 방향(동/서/남/북)을 고려하여 t초 후의 좌표를 정확히 설정하는 것이 가장 중요합니다.
”
움직이는 두 점의 거리 최솟값
“
중점과 무게중심 좌표를 단서로 하여 나머지 꼭짓점을 찾고, 최종적으로 특정 내분점의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 꼭짓점 A와 선분 AB의 중점 좌표를 이용해 꼭짓점 B의 좌표를 역으로 추적합니다.
2. [2단계] 꼭짓점 C의 좌표를 미지수로 두고, 세 꼭짓점 A, B, C의 무게중심이 주어진 좌표와 같다는 식을 세워 C의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 확정된 두 점 B, C의 좌표를 이용해 선분 BC를 3:1로 내분하는 점의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
주어진 정보를 어떤 순서로 활용해야 할지 설계하는 것이 중요합니다. 중점을 이용해 B를 먼저 찾고, 무게중심을 이용해 C를 찾는 흐름을 따라야 합니다.
”
중점과 무게중심으로 내분점 구하기
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삼각형의 중점, 무게중심, 외심의 좌표를 순서대로 구하는 종합 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 선분 AB의 중점 M의 좌표를 중점 공식을 이용해 구합니다.
2. [2단계] 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 삼각형 ABC의 무게중심 G를 구합니다.
3. [3단계] 삼각형 AMG의 외심 P를 구합니다. 외심은 세 꼭짓점 A, M, G로부터 같은 거리에 있으므로, PA=PG=PM 이라는 연립방정식을 풀어 P의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
각 점(중점, 무게중심, 외심)의 정의와 구하는 방법을 명확히 구분해야 합니다. 특히 외심을 구하는 과정은 연립방정식 풀이가 필요해 계산이 복잡할 수 있습니다.
”
중점, 무게중심, 외심 종합 문제
