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사각형의 두 대각선의 교점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 사각형의 두 대각선은 선분 AC와 선분 BD입니다.
2. 대각선의 교점은 **두 대각선(직선 AC와 직선 BD)의 교점**과 같습니다.
3. 두 점 A, C의 좌표를 이용해 직선 AC의 방정식을 구합니다.
4. 두 점 B, D의 좌표를 이용해 직선 BD의 방정식을 구합니다.
5. 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표 (a, b)를 구합니다.
주의할 점:
단순히 네 점의 평균을 구하는 등의 잘못된 풀이를 하지 않도록 주의해야 합니다. 두 직선의 교점을 찾는 것이 정석적인 해법입니다.
”
두 대각선의 교점 좌표 구하기
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삼각형의 넓이 비를 선분의 내분비로 해석하여, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABP와 APC는 꼭짓점 A를 공유하고 밑변이 한 직선 위에 있으므로 높이가 같습니다. 따라서 넓이의 비는 밑변의 길이 비와 같습니다.
2. 넓이 비가 2:1이므로, BP:PC = 2:1 입니다. 즉, 점 P는 선분 BC를 2:1로 내분하는 점입니다.
3. 내분점 공식을 이용해 P의 좌표를 구합니다.
4. 두 점 A와 P의 좌표를 이용해 직선의 방정식을 구하고, 계수를 비교하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
평면좌표 단원에서 배운 ‘내분점’ 개념과 직선의 방정식 단원의 개념이 융합된 문제입니다. 넓이 비를 내분비로 해석하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
삼각형 넓이 비를 이용한 직선 구하기
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삼각형의 한 꼭짓점과 그 무게중심을 지나는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 G의 좌표를 구합니다.
2. 이제 직선이 지나는 두 점, 즉 꼭짓점 A와 무게중심 G의 좌표를 모두 알게 되었습니다.
3. 두 점 A, G의 좌표를 이용해 직선의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
꼭짓점과 무게중심을 지나는 직선은 그 꼭짓점의 대변의 중점을 지난다는 기하학적 성질(중선)을 알고 있다면, 무게중심 대신 대변의 중점을 구해서 풀어도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
”
꼭짓점과 무게중심을 지나는 직선
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선분의 내분점과 또 다른 한 점, 이렇게 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 선분 AB를 2:1로 내분하는 점 D의 좌표를 내분점 공식을 이용해 구합니다.
2. 이제 직선이 지나는 두 점 C와 D의 좌표를 모두 알게 되었습니다.
3. 두 점 C, D의 좌표를 이용해 직선의 기울기를 구하고, 점-기울기 형태를 이용해 직선의 방정식을 완성합니다.
4. 구한 식을 y=ax+b 형태와 비교하여 a, b를 찾고 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
내분점 좌표를 정확하게 구하는 것이 첫 번째 관문입니다. 두 점으로 직선의 방정식을 구하는 기본기를 다시 한번 점검하는 문제입니다.
”
내분점과 다른 한 점을 지나는 직선
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두 점을 지나는 직선의 방정식을 세우는 문제입니다. y축과 만나는 점, 즉 y절편이 추가 단서로 주어졌습니다.
접근법:
1. 주어진 두 점 (-1, 2)와 (2, a)를 지나는 직선의 방정식을 미지수 a를 포함한 상태로 세웁니다.
2. 직선의 방정식에서 y절편은 x=0일 때의 y값입니다.
3. 1단계에서 구한 식의 y절편이 문제에서 주어진 y절편 값인 5와 같다고 등식을 세워 a값을 구합니다.
주의할 점:
직선의 방정식에서 상수항 부분이 y절편을 의미한다는 것을 바로 파악하면 계산을 더 빨리 할 수 있습니다.
”
두 점을 지나는 직선의 y절편
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한 점과 기울기가 주어졌을 때 직선의 방정식을 세우고, 그 직선의 x절편을 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 점 (3, 9)와 기울기 2를 이용해 점-기울기 형태로 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 구한 직선의 방정식에서 x절편을 찾습니다. x절편은 y좌표가 0일 때의 x값이므로, y=0을 대입하여 x값을 구합니다.
주의할 점:
x절편과 y절편의 정의를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다. (x절편: y=0일 때 x값, y절편: x=0일 때 y값)
”
한 점과 기울기로 직선의 x절편 구하기
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직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 주어졌을 때, 이를 기울기로 변환할 수 있는지를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ라고 할 때, 기울기 m = tan(θ) 라는 관계를 이용합니다. 이 문제에서는 기울기가 tan(60°)가 됩니다.
2. 두 점 A, B의 중점의 좌표를 구합니다.
3. 1단계에서 구한 기울기와 2단계에서 구한 중점을 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 구한 식을 문제의 형태와 비교하여 계수 a, b를 찾고 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
특수각(30°, 45°, 60°)에 대한 탄젠트 값을 정확히 암기하고 있어야 합니다. (tan30°=√3/3, tan45°=1, tan60°=√3)
”
삼각비를 이용한 직선의 기울기
“
선분의 내분점을 지나고, 주어진 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구하는 응용 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 선분 AB를 2:1로 내분하는 점의 좌표를 내분점 공식을 이용해 구합니다.
2. 1단계에서 구한 점의 좌표와 주어진 기울기 -3을 이용해 직선의 방정식을 세웁니다.
3. 이 직선이 또 다른 점 (-2, k)를 지난다고 하였으므로, 직선의 방정식에 이 점의 좌표를 대입하여 k값을 구합니다.
주의할 점:
내분점 공식에서 비율과 좌표를 엇갈려 곱하는 것을 잊지 말아야 합니다. 여러 단계의 계산을 거치므로 각 단계마다 정확한 값을 구하는 것이 중요합니다.
”
내분점과 기울기로 직선의 방정식 찾기
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주어진 직선과 기울기가 같고, 특정한 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 방정식을 y에 관해 정리하여 기울기를 먼저 찾습니다.
2. 문제의 직선 또한 기울기가 같으므로, 1단계에서 구한 기울기를 사용합니다.
3. 이 기울기와 주어진 점(-1, 4)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
4. 구한 방정식과 문제에 제시된 직선의 방정식의 계수를 비교하여 미지수 a, b를 결정합니다.
주의할 점:
일반형으로 표현된 직선의 방정식에서 기울기를 구할 때, 부호 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다. y에 관해 정리하는 것이 가장 안전한 방법입니다.
”
주어진 직선에 평행한 직선의 방정식
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두 점을 지나는 직선에 평행하고, y절편이 주어진 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. ‘평행하다’는 조건은 기울기가 같다는 것을 의미합니다. 먼저 주어진 두 점 A, B를 이용해 원래 직선의 기울기를 구합니다.
2. 우리가 구하려는 직선의 기울기 a는 1단계에서 구한 기울기와 같습니다.
3. ‘y절편이 -1이다’라는 조건에서 b의 값이 바로 결정됩니다.
4. 구한 a와 b를 더하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
평행 조건은 ‘기울기가 같다’, 수직 조건은 ‘기울기의 곱이 -1이다’ 라는 핵심 내용을 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
두 점을 지나는 직선과 평행한 직선
