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정점을 지나는 직선과 점과 직선 사이의 거리 공식을 활용하는 서술형 문제입니다. 241번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 직선을 a에 대해 정리하여, a값에 관계없이 항상 지나는 정점 A의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 점 A와 직선 x+y+k=0 사이의 거리가 √2 라는 조건을 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 세웁니다.
3. [3단계] k에 대한 절댓값 방정식을 풀어 가능한 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
항등식의 원리를 이용해 정점을 찾는 과정을 정확히 서술하는 것이 중요합니다.
”
평행 조건과 두 직선 사이 거리
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세 점이 한 직선 위에 있을 조건과 수직이등분선의 개념을 결합한 서술형 문제입니다. 187번과 유사합니다.
접근법:
1. [1단계] 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있다는 조건(기울기 AB = 기울기 AC)을 이용해 미지수 a의 값을 구합니다.
2. [2단계] 점 C의 좌표가 확정되면, 선분 AC의 수직이등분선의 방정식을 구합니다. (중점 조건 + 수직 조건)
3. [3단계] 원점과 2단계에서 구한 직선 l 사이의 거리를 공식으로 구합니다.
주의할 점:
문제의 각 단계를 순서대로 정확히 수행해야 합니다. 한 단계의 실수가 이후 모든 계산에 영향을 미칩니다.
”
정점과 점과 직선 사이 거리
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좌표 설정을 통해 실생활 문제를 해결하고, 수직 조건과 중점을 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 벽과 지면을 각각 y축, x축으로 설정하고, 유리판의 양 끝점 A, B의 좌표를 구합니다.
2. [2단계] 햇빛을 나타내는 직선은 유리판(선분 AB)의 중점 M을 지나고, 유리판과 수직입니다. 직선 AB의 기울기와 중점 M을 구해, 햇빛 직선의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 햇빛이 지면과 만나는 점은 이 직선의 x절편입니다. x절편을 구해 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
실생활 문제를 좌표평면으로 옮겨오는 모델링 능력이 필요합니다. ‘유리의 중심을 수직으로 통과’라는 표현을 ‘선분의 중점을 지나고 그 선분에 수직이다(수직이등분선)’로 해석해야 합니다.
”
공선 조건과 수직이등분선, 점과 직선 거리
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정점을 지나는 직선과 원점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 과정을 서술하는 문제입니다. 259번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 원점과 주어진 직선 사이의 거리를 k에 대한 식으로 표현합니다.
2. [2단계] 1단계에서 구한 거리 식이 최대가 되려면 분모의 이차식이 최소가 되어야 합니다. 분모의 이차식을 완전제곱식으로 변형하여 최솟값을 찾고, 그때의 k값(a)과 거리의 최댓값(b)을 구합니다.
3. [3단계] a+b의 값을 계산합니다.
대체 접근법(기하학적):
주어진 직선의 정점을 찾고, 거리의 최댓값은 원점과 정점 사이의 거리임을 이용하면 더 간단하게 b를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
서술형이므로, 대수적인 풀이(이차식의 최소를 이용) 과정을 단계적으로 보여주는 것이 좋습니다.
”
실생활 문제의 좌표 설정과 수직이등분선
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세 직선이 좌표평면을 여섯 개 부분으로 나눌 조건을 묻는 서술형 문제입니다. 175번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 좌표평면이 6개 영역으로 나뉘는 경우는 (1)세 직선 중 두 직선만 평행하거나, (2)세 직선이 한 점에서 만나는 경우임을 서술합니다.
2. [2단계] 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 a값을 구합니다.
3. [3단계] 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구하고, 이 교점을 미지수가 있는 직선이 지날 때의 a값을 구합니다.
4. [4단계] 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘좌표평면을 6개로 나눈다’와 ‘삼각형을 이루지 않는다(단, 셋 다 평행은 제외)’가 같은 조건임을 이해하고, 두 가지 경우를 모두 빠짐없이 찾아야 합니다.
”
정점과 원점 거리 최댓값 구하기
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마름모의 성질을 이용하여 대각선 방정식을 구하고, 원점과 직선 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 대각선 AC의 길이가 10이라는 조건을 이용해 점 C의 좌표를 먼저 확정합니다.
2. [2단계] 직선 BD는 대각선 AC의 **수직이등분선**입니다. 선분 AC의 중점과 수직 기울기를 이용해 직선 BD(직선 l)의 방정식을 구합니다.
3. [3단계] 원점(0,0)과 2단계에서 구한 직선 l 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
마름모의 대각선이 서로를 ‘수직이등분’한다는 핵심 성질을 정확히 이용하여 직선의 방정식을 구하는 과정이 중요합니다.
”
좌표평면을 여섯 부분으로 나눌 조건
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세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건을 모두 찾아 미지수의 합을 구하는 서술형 문제입니다. 173번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 삼각형을 이루지 않을 조건은 (1)두 직선 이상이 평행하거나, (2)세 직선이 한 점에서 만나는 경우임을 서술합니다.
2. [2단계] 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 m값을 구합니다.
3. [3단계] 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구하고, 그 교점을 미지수가 있는 직선이 지날 때의 m값을 구합니다.
4. [4단계] 2, 3단계에서 구한 모든 m값의 합을 구합니다.
주의할 점:
삼각형을 이루지 않는 모든 경우를 빠짐없이 체계적으로 나누어 서술하는 것이 핵심입니다.
”
마름모의 수직이등분선과 원점 거리
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정점을 지나는 직선이 삼각형의 넓이를 이등분할 조건을 이용하는 서술형 문제입니다. 225번 문제와 동일합니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 직선을 m에 대해 정리하여, m값에 관계없이 항상 지나는 정점의 좌표를 찾습니다. 이 점이 꼭짓점 A임을 확인합니다.
2. [2단계] 직선이 꼭짓점 A를 지나면서 넓이를 이등분하려면, 반드시 대변 BC의 중점을 지나야 합니다. 중점 M의 좌표를 구합니다.
3. [3단계] 직선 l이 중점 M을 지나야 하므로, M의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 m값을 구합니다.
주의할 점:
서술형이므로 각 단계의 논리(정점을 찾고, 넓이 이등분 조건은 중점을 지나는 것임을 밝히고, 대입하여 답을 구하는)를 명확하게 보여주는 것이 중요합니다.
”
세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건
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두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 이용해 미지수 a, b에 대한 연립방정식을 세우고 푸는 서술형 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 첫 번째 평행 조건을 일반형 방정식의 계수비(a/a’=b/b’≠c/c’)를 이용해 a, b에 대한 관계식으로 나타냅니다.
2. [2단계] 두 번째 수직 조건을 일반형 방정식의 계수 곱의 합(aa’+bb’=0)을 이용해 a, b에 대한 두 번째 관계식으로 나타냅니다.
3. [3단계] 두 관계식을 연립하여 a, b값을 구한 뒤, 문제에서 요구하는 최종 값을 계산합니다.
주의할 점:
일반형 방정식에서의 평행/수직 조건을 바로 적용하면, y=mx+b 형태로 바꾸는 번거로움을 줄일 수 있습니다.
”
정점을 지나는 넓이 이등분선
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세 꼭짓점의 좌표가 주어졌을 때 삼각형의 넓이를 구하는 과정을 서술하는 문제입니다.
접근법:
1. [1단계] 한 변을 밑변으로 정하고(예: BC), 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 밑변의 길이를 구합니다.
2. [2단계] 밑변을 포함하는 직선의 방정식(직선 BC)을 구합니다.
3. [3단계] 나머지 한 꼭짓점(A)과 2단계에서 구한 직선 사이의 거리를 구해 삼각형의 높이를 찾습니다.
4. [4단계] **넓이 = 1/2 * 밑변 * 높이** 공식을 이용해 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
신발끈 공식을 알고 있더라도, 서술형 문제에서는 이와 같은 정석적인 풀이 과정을 요구하는 경우가 많으므로 반드시 숙지해야 합니다.
”
평행과 수직 조건 연립방정식
