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한 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표를 구하는 서술형 문제입니다. 202, 203번 문제와 동일한 유형입니다.
접근법:
1. [1단계] 주어진 직선의 기울기를 구하고, 그것과 곱해서 -1이 되는 **수직 기울기**를 찾습니다. 이것이 직선 AH의 기울기입니다.
2. [2단계] 점 A를 지나고 1단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 **직선 AH의 방정식**을 구합니다.
3. [3단계] 수선의 발 H는 원래 직선과 직선 AH의 교점입니다. 두 직선의 방정식을 연립하여 H의 좌표(a,b)를 구하고, 최종적으로 a+b를 계산합니다.
주의할 점:
서술형 문제이므로, 각 단계별 풀이 과정을 논리적으로 명확하게 서술하는 연습이 필요합니다.
”
세 꼭짓점 좌표로 삼각형 넓이 구하기
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삼각형의 무게중심의 성질과 점과 직선 사이의 거리를 결합한 고난도 빈칸 추론 문제입니다.
접근법:
1. (가) 무게중심은 중선을 2:1로 내분합니다. 높이(직선까지의 거리)의 비도 이와 같다는 닮음의 원리를 이용해 빈칸을 채웁니다.
2. (나) 점 G와 직선 OA(y=mx) 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 m에 대한 식으로 나타냅니다.
3. (다) (가)와 (나)의 거리값이 같다는 방정식을 풀어 m값을 구합니다. 문제의 조건(기울기 관계)에 맞는 m값을 선택합니다.
주의할 점:
무게중심의 성질이 단순한 길이의 내분뿐만 아니라, 평행선 사이의 거리(높이)에도 동일한 비율로 적용된다는 점을 이해하는 것이 중요합니다.
”
수선의 발 좌표 구하기
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삼각형의 수심(세 수선의 교점)이 한 점에 있음을 증명하는 과정을 빈칸 추론으로 제시한 문제입니다.
접근법:
1. 문제의 각 단계에서 요구하는 값을 직접 계산하여 빈칸을 채웁니다.
2. (가) 직선 AC의 기울기를 구합니다.
3. (나) 직선 BD의 방정식을 구하고 y절편을 찾습니다.
4. (다) 직선 AB의 기울기를 구하고, 이와 수직인 직선 CE의 기울기와 방정식을 구해 y절편을 찾습니다.
5. 두 수선의 교점이 y축 위에 있음을 보이고, 나머지 한 수선(x축)과도 한 점에서 만남을 확인합니다.
주의할 점:
문제에서 제시된 그림과 좌표를 이용해, 각 직선의 기울기와 방정식을 구하는 기본적인 계산을 정확하게 수행해야 합니다.
”
무게중심과 점과 직선 사이 거리
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점과 직선 사이의 거리 공식을 유도하는 과정을 빈칸 추론으로 제시한 문제입니다.
접근법:
1. 문제의 흐름을 따라 각 빈칸에 들어갈 내용을 논리적으로 추론합니다.
2. (①, ②) 수선의 발을 이용한 증명이므로, 수직 조건(기울기의 곱=-1)을 이용합니다.
3. (③) 두 점 사이의 거리 공식을 k를 이용해 표현하는 과정입니다.
4. (④, ⑤) 수선의 발이 원래 직선 위의 점이라는 사실을 이용해 k값을 구하고, 이를 거리 식에 대입하여 최종 공식을 완성합니다.
주의할 점:
공식 유도 과정 전체를 이해하는 좋은 기회입니다. 각 단계가 어떤 원리(수직조건, 거리공식, 점 대입)에 의해 진행되는지 파악하는 것이 중요합니다.
”
삼각형 수심의 존재 증명
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삼각형의 넓이가 일정하게 유지될 때, 한 꼭짓점의 자취를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 ABP에서 밑변을 선분 AB로 고정합니다.
2. 밑변 AB의 길이를 먼저 구합니다.
3. 삼각형의 넓이가 15로 일정하고 밑변의 길이도 일정하므로, **높이 h가 일정**해야 함을 알 수 있습니다. 넓이 공식을 이용해 높이 h의 값을 구합니다.
4. 점 P의 자취는, 밑변을 포함하는 **직선 AB로부터의 거리가 h로 일정한 직선**입니다.
5. 직선 AB와 평행하면서 거리가 h인 직선은 위, 아래로 두 개가 존재합니다. 이 두 직선의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
넓이가 일정하다는 조건을 ‘높이가 일정하다’로, 다시 ‘평행한 두 직선’으로 기하학적으로 해석하는 과정이 중요합니다.
”
점과 직선 사이 거리 공식 유도 과정
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한 점에서 두 직선에 내린 수선의 길이의 비율이 일정할 때, 그 점의 자취를 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 자취 위의 점을 P(x,y)로 설정합니다.
2. 점 P에서 각 직선까지의 거리(PR, PS)를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 나타냅니다.
3. 문제의 조건 PR:PS = 2:1, 즉 PR = 2*PS 라는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식은 절댓값을 포함하며, |A| = 2|B| 형태가 됩니다.
5. A = 2B 인 경우와 A = -2B 인 경우, 두 가지를 모두 풀어 두 개의 자취의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
거리가 ‘같다’가 아닌 ‘2:1의 비를 갖는다’는 조건이므로, 거리 공식에 2를 곱해주는 것을 잊지 말아야 합니다. 원리는 각의 이등분선과 유사합니다.
”
넓이가 일정할 때 꼭짓점의 자취
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두 직선으로부터 같은 거리에 있는 점의 자취를 구하는 문제입니다. 이는 두 직선의 각의 이등분선을 구하는 것과 완전히 동일합니다.
접근법:
1. 자취 위의 점을 P(x,y)로 설정합니다.
2. 점 P에서 첫 번째 직선까지의 거리와 두 번째 직선까지의 거리가 같다고 등식을 세웁니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하면 절댓값을 포함한 방정식이 만들어집니다.
4. 절댓값을 풀 때의 두 가지 경우(+, -)를 모두 계산하여 두 개의 직선의 방정식을 찾습니다.
주의할 점:
문제의 표현이 ‘자취’로 나왔지만, 본질은 ‘각의 이등분선’을 구하는 것입니다. 두 표현이 같은 의미임을 이해해야 합니다.
”
두 직선까지 거리의 비가 일정한 자취
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삼각형의 내심을 지나는 직선의 방정식을 찾는 문제입니다. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점입니다.
접근법:
1. 문제에서 요구하는 직선은 점 B와 내심을 지납니다. 이는 곧 각 B의 이등분선의 방정식을 구하라는 의미입니다.
2. 각 B의 이등분선은, 두 직선 BA와 BC로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취입니다.
3. 먼저 두 직선 BA와 BC의 방정식을 각각 구합니다.
4. 두 직선의 각의 이등분선 방정식을 구하고, 그 중 삼각형의 내부를 지나는(기울기 등을 고려) 적절한 방정식을 선택합니다.
주의할 점:
‘점 B와 내심을 지나는 직선’이 ‘각 B의 이등분선’과 같다는 사실을 파악하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
”
두 직선에서 같은 거리에 있는 점의 자취
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정점을 지나는 직선과 각의 이등분선 개념이 혼합된 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 주어진 직선이 k에 관계없이 지나는 정점을 찾고, 두 직선의 교점과 일치하는지 확인합니다.
2. (보기 ㄴ) 직선의 기울기를 k에 대한 식으로 표현하고, 그 기울기가 -1이 되게 하는 k값이 존재하는지 확인합니다.
3. (보기 ㄷ) k=-3일 때의 직선의 방정식을 구하고, 이 직선이 다른 두 직선(3x-y=0, x+3y-10=0)의 각의 이등분선이 맞는지 직접 확인합니다.
주의할 점:
보기 ㄷ을 확인할 때는, 두 직선의 각의 이등분선 방정식을 직접 구해서 비교해야 합니다. 여러 개념을 정확히 이해하고 적용해야 하는 종합 문제입니다.
”
삼각형의 내심을 지나는 직선
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한 직선이 다른 두 직선이 이루는 각을 이등분할 때, 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 직선(ax-y=0, x+ay-5=0)이 이루는 각의 이등분선 방정식을 구합니다.
2. ‘두 직선으로부터의 거리가 같다’는 자취의 원리를 이용하면, 두 개의 이등분선 방정식이 나옵니다.
3. 주어진 직선(3x+y-5=0)이 이 두 개의 이등분선 중 하나와 일치해야 합니다.
4. 계수 비교법을 통해 두 직선이 일치하도록 하는 a값을 찾습니다.
주의할 점:
두 개의 이등분선이 나오므로, 주어진 직선이 둘 중 어느 것과 일치할 수 있는지 두 가지 경우를 모두 확인해야 합니다.
”
정점과 각의 이등분선
