“
이차함수의 성질과 정사각형의 조건을 결합하여 함수식을 추론하는 최고난도 문제입니다.
접근법:
1. 이차함수의 꼭짓점, 축과의 교점 등을 미지수 a, k를 이용해 표현합니다.
2. 사각형 APRQ가 정사각형이라는 조건은 매우 강력한 힌트입니다. 이는 (1) AP와 BC가 평행하고, (2) AP의 길이와 AQ의 길이(점 A와 직선 BC 사이의 거리)가 같다는 것을 의미합니다.
3. ‘평행’ 조건에서 기울기가 같다는 식을 하나 얻습니다.
4. ‘길이가 같다’는 조건에서 두 번째 식을 얻습니다.
5. 이 두 식을 연립하여 이차함수의 계수를 결정하고, 최종적으로 함숫값을 구합니다.
주의할 점:
정사각형이라는 기하학적 조건을 평행, 수직, 길이 등 대수적인 조건으로 얼마나 잘 변환하는지가 관건입니다. 문제의 구조를 파악하는 능력이 매우 중요합니다.
”
내분점과 교점, 넓이의 증명 과정
“
이등변삼각형, 내분점, 무게중심의 성질이 복합적으로 얽혀있는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 ABC가 AC=BC인 이등변삼각형이므로, 꼭짓점 C는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. 이를 통해 점 C의 좌표 (a,b)에 대한 첫 번째 관계식을 얻습니다.
2. 점 G는 삼각형 CPQ의 무게중심입니다. 닮음의 성질을 이용하면, 점 R(선분 CM의 1:3 내분점)과 G의 관계를 파악할 수 있습니다.
3. 주어진 CG의 길이를 이용해 a, b에 대한 두 번째 관계식을 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 닮음 성질과 무게중심의 위치 관계를 정확히 파악해야 계산을 줄일 수 있습니다. 계산량이 매우 많으므로 각 단계별로 신중한 접근이 필요합니다.
”
이차함수와 정사각형 조건의 복합 문제
“
곡선 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 접선의 기울기를 m이라 하고, 점 (a,a)를 지나는 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선이 이차함수와 접하므로, 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식 D=0이 성립해야 합니다.
3. 판별식 D=0을 정리하면, 기울기 m에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이 방정식의 두 근이 바로 두 접선의 기울기가 됩니다.
4. 두 접선이 서로 수직이므로, 두 기울기의 곱은 -1입니다.
5. m에 대한 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용해 ‘두 근의 곱 = -1’ 이라는 식을 세워 a값을 구합니다.
주의할 점:
이차함수 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 수직이 되는 점들의 자취는 그 이차함수의 ‘준선’이 됩니다. 이 배경지식을 알고 있으면 문제 이해에 도움이 됩니다.
”
이등변삼각형과 무게중심의 복합 문제
“
도형을 접는 상황(선대칭)을 좌표평면으로 옮겨 거리를 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형을 좌표평면 위에 배치합니다. 변 AB의 중점 M을 원점으로 두면 계산이 편리합니다.
2. ‘종이를 접는다’는 것은 선대칭 이동을 의미합니다. 접기 전의 길이와 접은 후의 길이는 같습니다. 즉, 선분 AB의 길이와 선분 A’B의 길이가 같습니다.
3. 이 성질을 이용하면 점 A’의 좌표를 구할 수 있습니다.
4. 두 점 A’와 B의 좌표를 이용해 직선 A’B의 방정식을 구합니다.
5. 최종적으로 원래 점 A와 직선 A’B 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식으로 구합니다.
주의할 점:
접었을 때 변하지 않는 길이(선분 길이)가 무엇인지 파악하는 것이 문제 해결의 결정적인 단서입니다.
”
곡선 밖에서 그은 두 접선이 수직일 조건
“
세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 내심(세 내각의 이등분선의 교점)의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 세 직선의 교점을 각각 구하여 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 찾습니다.
2. 세 내각 중 계산하기 편한 두 내각의 이등분선의 방정식을 구합니다.
3. 각의 이등분선은 두 직선으로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취라는 원리를 이용합니다.
4. 두 개의 각의 이등분선 방정식을 구한 뒤, 이들을 연립하여 교점인 내심의 좌표를 찾습니다.
주의할 점:
각의 이등분선은 두 개씩 나오므로, 삼각형의 안쪽을 지나는 것을 잘 선택해야 합니다. 계산량이 매우 많은 문제이므로, 각 단계별 계산을 정확하게 하는 것이 관건입니다.
”
선대칭을 이용한 최단 거리
“
꼭짓점을 지나지 않는 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 고난도 유형입니다.
접근법:
1. 먼저 전체 삼각형 OAB의 넓이를 구합니다. 이등분된 넓이는 그 절반이 됩니다.
2. 직선 y=x+k가 삼각형의 두 변(이 문제에서는 OB와 AB)과 만나는 교점의 좌표를 각각 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 이 직선에 의해 잘려나가는 작은 삼각형의 넓이를 k에 대한 식으로 표현합니다.
4. 이 작은 삼각형의 넓이가 전체 넓이의 절반이 된다는 등식을 세우고, k에 대한 이차방정식을 풉니다.
5. 문제의 조건에 맞는 k값을 선택합니다.
주의할 점:
직선이 꼭짓점을 지날 때와 달리, 넓이를 직접 식으로 세워 풀어야 하므로 계산 과정이 매우 복잡합니다. 교점의 좌표와 잘려나가는 도형의 형태를 정확히 파악하는 것이 중요합니다.
”
세 직선 교점으로 내심 구하기
“
좌표평면 위의 두 정사각형이 꼭짓점을 공유할 때, 다른 꼭짓점의 좌표를 찾는 고난도 문제입니다. 도형의 합동 또는 벡터의 회전 개념을 이용하면 효과적입니다.
접근법:
1. 첫 번째 정사각형 OABC에서, 점 A의 좌표를 이용해 점 C의 좌표를 찾습니다. 원점을 기준으로 합동인 직각삼각형을 그려보면, 점 C의 좌표를 쉽게 추론할 수 있습니다.
2. 두 번째 정사각형 CDEF의 꼭짓점 좌표를 찾아야 합니다. 점 C와 D의 좌표를 알고 있으므로, 변 CD의 길이와 기울기를 알 수 있습니다.
3. 정사각형의 성질(모든 변의 길이가 같고 이웃한 변이 수직)을 이용해 나머지 점 E, F의 좌표를 찾습니다. 대각선의 중점이 같다는 성질을 이용하는 것이 편리합니다.
4. 최종적으로 점 E의 좌표를 이용해 선분 OE의 길이의 제곱을 구합니다.
주의할 점:
좌표평면 위의 정사각형 문제는 복잡한 계산보다 도형의 합동, 닮음, 회전 등 기하학적 성질을 활용하는 것이 훨씬 효율적입니다.
”
꼭짓점을 지나지 않는 넓이 이등분선
“
직선이 직사각형의 넓이를 이등분하는 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 직사각형의 넓이를 이등분하려면, 반드시 그 직사각형의 **대각선의 교점(무게중심)**을 지나야 합니다.
2. 주어진 네 직선으로 만들어지는 직사각형의 네 꼭짓점 좌표를 구하고, 대각선의 교점 좌표를 찾습니다.
3. 직선 y=ax가 이 교점을 지나므로, 교점의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 a값을 구합니다.
4. 최종적으로 60a의 값을 계산합니다.
주의할 점:
157번 문제와 동일한 원리를 적용하는 문제입니다. 직사각형 넓이 이등분의 핵심은 ‘대각선의 교점’을 지나는 것임을 기억하는 것이 가장 중요합니다.
”
정사각형의 합동과 회전변환
“
평행한 두 직선을 두 변으로 하는 정삼각형의 넓이의 최솟값을 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 정삼각형의 한 변 AB는 두 평행한 직선 사이를 잇는 선분입니다. 변 AB의 길이가 최소가 될 때는 두 직선 사이의 **수직 거리**일 때입니다.
2. 따라서 정삼각형의 높이는 두 평행한 직선 사이의 거리와 같습니다.
3. 두 평행한 직선 사이의 거리를 공식으로 구합니다. 이 값이 정삼각형의 높이(h)가 됩니다.
4. 정삼각형의 높이와 한 변의 길이 사이의 관계(h=(√3/2)a)를 이용해 넓이(S=(√3/4)a²)를 높이에 대한 식으로 변환합니다. (S=h²/√3)
5. 3단계에서 구한 높이를 대입해 넓이의 최솟값을 구합니다.
주의할 점:
이 문제에서는 변의 길이가 아닌 높이가 두 직선 사이의 거리와 같습니다. 정삼각형의 높이와 넓이 관계를 정확히 알아야 합니다.
”
직사각형 넓이를 이등분하는 직선
“
평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 서술형 문제입니다. 253번 문제와 유사합니다.
접근법:
1. [1단계] 두 직선이 평행할 조건을 이용해 정수 m의 값을 먼저 구합니다.
2. [2단계] m값을 대입해 두 직선의 방정식을 완성하고, 한 직선 위의 임의의 점과 다른 직선 사이의 거리를 공식으로 구합니다.
3. [3단계] 문제에서 요구하는 최종 값을 계산합니다.
주의할 점:
평행 조건을 풀었을 때 m값이 여러 개 나올 수 있으나, ‘정수’라는 조건에 맞는 값을 선택해야 합니다.
”
정삼각형과 평행한 두 직선
