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[문제 307] 핵심 개념 및 풀이 전략

이차함수의 성질과 정사각형의 조건을 결합하여 함수식을 추론하는 최고난도 문제입니다.

접근법:
1. 이차함수의 꼭짓점, 축과의 교점 등을 미지수 a, k를 이용해 표현합니다.
2. 사각형 APRQ가 정사각형이라는 조건은 매우 강력한 힌트입니다. 이는 (1) AP와 BC가 평행하고, (2) AP의 길이와 AQ의 길이(점 A와 직선 BC 사이의 거리)가 같다는 것을 의미합니다.
3. ‘평행’ 조건에서 기울기가 같다는 식을 하나 얻습니다.
4. ‘길이가 같다’는 조건에서 두 번째 식을 얻습니다.
5. 이 두 식을 연립하여 이차함수의 계수를 결정하고, 최종적으로 함숫값을 구합니다.

주의할 점:
정사각형이라는 기하학적 조건을 평행, 수직, 길이 등 대수적인 조건으로 얼마나 잘 변환하는지가 관건입니다. 문제의 구조를 파악하는 능력이 매우 중요합니다.

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내분점과 교점, 넓이의 증명 과정