📚 고1 2025학년도 9월 모의고사 수학 20번 (4점)
유형: 이차방정식과 이차함수의 관계를 활용한 추론 | 난이도: ★★★★★
📌 문제
🎯 출제자 의도
핵심 출제 포인트 : 이차방정식과 이차함수의 관계를 활용하여 추론하기
- 조각함수 h(x)와 직선의 교점 개수·위치로부터 f(x), g(x)의 개형을 추론할 수 있는가?
- 이차함수가 수평선에 접할 조건(중근)과 두 점에서 만날 조건을 구별할 수 있는가?
- 근과 계수의 관계를 이용해 주어진 조건을 연립방정식으로 바꿀 수 있는가?
🔑 문제풀이 핵심 단서
- a < 0이므로 f(x), g(x)는 모두 위로 볼록한 포물선
- 조건 (가): 수평선 y = f(0)과 h(x)의 교점 x좌표가 0, 4, 12 (3개뿐)
- 👉 x = 0은 f(x) 쪽 교점 (단 1개) → f(x)가 y = f(0)에 접함 → f의 꼭짓점이 (0, f(0))
- 👉 x = 4, 12는 g(x) 쪽 교점 (2개) → g(x) – f(0) = 0의 두 실근
- 따라서 f(x) = ax² + f(0), g(x) = a(x-4)(x-12) + f(0)
- 조건 (나): 직선 y = 2x-8과의 교점이 α, 3, β → 각 이차방정식의 근과 계수 관계 활용
- α + β = 6 조건으로 a, b를 연립 결정
✅ 단계별 정답 해설
[Step 1] 조건 (가)로 f(x), g(x) 꼴 추론
f(0) = b (상수)라 놓으면, 위 그림에서 y = b와 h(x)의 교점이 3개입니다.
● 왼쪽 조각 f(x) (x ≤ 3): y = b와 x = 0에서 만남 — 이 구간에서 교점이 단 1개
- 위로 볼록 포물선이 수평선과 1번만 만남 → 접함 (중근)
- 접점의 x좌표가 0 → f의 꼭짓점 = (0, b)
- ∴ f(x) = a x² + b
● 오른쪽 조각 g(x) (x > 3): y = b와 x = 4, 12에서 만남 — 2개 교점
- g(x) – b = 0의 두 실근이 4와 12
- ∴ g(x) = a(x – 4)(x – 12) + b
결과 : f(x) = ax² + b, g(x) = a(x-4)(x-12) + b
✔ 확인: f(3) = 9a + b, g(3) = a·(-1)·(-9) + b = 9a + b. 따라서 f(3) = g(3) 조건 자동 만족 😊
[Step 2] 조건 (나)를 이차방정식으로 변환
● 왼쪽 구간 (x ≤ 3): f(x) = 2x – 8의 두 실근이 α와 3
ax² + b = 2x – 8 → ax² – 2x + (b + 8) = 0 … ①
근과 계수의 관계 : α + 3 = 2/a … ②
● 오른쪽 구간 (x > 3): g(x) = 2x – 8의 두 실근이 3과 β
a(x-4)(x-12) + b = 2x – 8
→ a(x² – 16x + 48) + b – 2x + 8 = 0
→ ax² – (16a + 2)x + (48a + b + 8) = 0
근과 계수의 관계 : 3 + β = (16a + 2)/a = 16 + 2/a … ③
[Step 3] α + β = 6을 이용해 a 결정
② + ③ 하면:
(α + 3) + (3 + β) = 2/a + 16 + 2/a
(α + β) + 6 = 16 + 4/a
6 + 6 = 16 + 4/a → 4/a = -4
∴ a = -1
[Step 4] b 결정 및 f(x), g(x) 확정
a = -1을 ①에 대입 : -x² – 2x + (b + 8) = 0 → x² + 2x – (b + 8) = 0
x = 3이 근이므로 : 9 + 6 – (b + 8) = 0 → b = 7
f(x) = -x² + 7
g(x) = -(x – 4)(x – 12) + 7 = -x² + 16x – 41
[Step 5] h(-2) + h(5) 계산 (최종)
● h(-2) : x = -2 ≤ 3이므로 f(x) 사용
h(-2) = f(-2) = -(-2)² + 7 = -4 + 7 = 3
● h(5) : x = 5 > 3이므로 g(x) 사용
h(5) = g(5) = -(5)² + 16·5 – 41 = -25 + 80 – 41 = 14
h(-2) + h(5) = 3 + 14 = 17
👉 정답 : ③ 17
⚡ 시험용 직관적 빠른풀이 (90초 컷)
🧠 핵심 아이디어 한 줄 : “수평선과 교점 개수 = 이차방정식의 근 개수”
✔ Step 1. 그래프 개형을 즉시 확정
- y = f(0)과 x = 0에서 1번만 만남 → f는 x = 0에서 꼭짓점·접함 → f(x) = ax² + b
- y = f(0)과 x = 4, 12에서 만남 → g(x) = a(x-4)(x-12) + b
✔ Step 2. 근과 계수의 관계 (암기 포인트!)
직선 y = 2x – 8과의 교점에서, 이차항 계수가 둘 다 a이므로:
- f쪽 두 근 합: α + 3 = 2/a (x² 계수 a, x 계수 -2)
- g쪽 두 근 합: 3 + β = 16 + 2/a (전개하면 -(16a+2)/a 부호 조심!)
✔ Step 3. 두 식 더하기
(α + β) + 6 = 16 + 4/a → 12 = 16 + 4/a → a = -1
✔ Step 4. x = 3 대입으로 b 구하기
f(3) = 2·3 – 8 = -2 → 9a + b = -2 → -9 + b = -2 → b = 7
✔ Step 5. 값 계산
- f(-2) = -4 + 7 = 3
- g(5) = -(1)(-7) + 7 = 7 + 7 = 14 ← (x-4)(x-12) 활용이 더 빠름!
답 : 3 + 14 = 17
💡 이 문제에서 꼭 기억할 3가지
- “수평선과의 교점 개수” → “이차방정식의 근 개수”로 번역하는 습관. 1개면 중근(접함), 2개면 서로 다른 두 근.
- 조각함수(piecewise)의 교점 문제는 구간별로 각자 이차방정식을 세워서 분석하면 깔끔함.
- 근과 계수의 관계는 “근의 합 구할 때 최강 무기”. 근 자체를 구할 필요 없이 합/곱만 바로 얻을 수 있음.
📖 공식 해설 원본
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