📚 고1 2025학년도 9월 모의고사 수학 19번 (4점)
유형: 이차함수의 최대·최소를 활용한 추론 | 난이도: ★★★★☆
📌 문제
🎯 출제자 의도
핵심 출제 포인트 : 이차함수의 최대·최소를 활용하여 추론하기
- 제한된 구간에서 이차함수의 최댓값·최솟값이 꼭짓점과 구간의 상대적 위치에 따라 달라짐을 이해하는가?
- 꼭짓점 b의 위치를 5가지 경우로 분류하여 조건에 맞는 값을 걸러낼 수 있는가?
- 대칭성을 활용한 직관적 추론이 가능한가?
🔑 문제풀이 핵심 단서
- f(x) = a(x-b)²는 꼭짓점 (b, 0)에서 최솟값 0을 갖는 아래로 볼록 포물선 (a > 0)
- g(k)가 정의된 구간 [k, k+2]의 길이는 항상 2로 일정
- 꼭짓점 b가 구간 왼쪽 밖 / 왼쪽 절반 / 정중앙 / 오른쪽 절반 / 오른쪽 밖 → 5가지 경우로 분류
- 조건 (가) g(3) = a가 b의 값을 결정하는 열쇠
- 조건 (나) g(2) + g(6) = 32가 a의 값을 결정
✅ 단계별 정답 해설
[Step 1] g(3)이 뭔지 정확히 이해하기
g(3)은 구간 3 ≤ x ≤ 5에서 f(x) = a(x-b)²의 최댓값 – 최솟값입니다.
꼭짓점의 위치 b가 구간 [3, 5]와 어떻게 놓이느냐에 따라 그래프 모양이 달라지므로, 5가지 경우로 나눠봅니다.
👉 (i) 0 < b ≤ 3인 경우 : 꼭짓점이 구간 왼쪽 밖
구간 [3, 5]에서 f(x)는 증가만 하므로 최솟값 = f(3), 최댓값 = f(5).
g(3) = f(5) – f(3) = a(5-b)² – a(3-b)² = 4a(4-b)
b ≤ 3이면 4-b ≥ 1 → g(3) ≥ 4a > a → 조건 (가) 불만족 ❌
👉 (ii) 3 < b < 4인 경우 : 꼭짓점이 구간 왼쪽 절반
꼭짓점이 구간 내부에 있으므로 최솟값 = f(b) = 0. 5가 b에서 더 멀리 있으므로 최댓값 = f(5).
g(3) = f(5) – f(b) = a(5-b)²
3 < b < 4이면 1 < 5-b < 2 → a < g(3) < 4a → 조건 (가) 불만족 ❌
👉 (iii) b = 4인 경우 : 꼭짓점이 구간 정중앙 ⭐
꼭짓점에서 양 끝까지 거리가 똑같이 1이므로 f(3) = f(5) = a. 최솟값 = f(4) = 0.
g(3) = a(5-4)² = a → 조건 (가) 만족 ✅
👉 (iv) 4 < b < 5인 경우 : 꼭짓점이 구간 오른쪽 절반
최솟값 = f(b) = 0. 3이 b에서 더 멀리 있으므로 최댓값 = f(3).
g(3) = a(3-b)²
4 < b < 5이면 1 < b-3 < 2 → a < g(3) < 4a → 조건 (가) 불만족 ❌
👉 (v) b ≥ 5인 경우 : 꼭짓점이 구간 오른쪽 밖
구간 [3, 5]에서 f(x)는 감소만 하므로 최솟값 = f(5), 최댓값 = f(3).
g(3) = f(3) – f(5) = 4a(b-4)
b ≥ 5이면 b-4 ≥ 1 → g(3) ≥ 4a > a → 조건 (가) 불만족 ❌
[Step 2] 결론 도출 → b = 4 확정
(i)~(v) 중 유일하게 조건 (가)를 만족시키는 경우는 (iii)뿐입니다.
∴ b = 4, 즉 f(x) = a(x-4)²
[Step 3] 조건 (나)로 a값 결정
● g(2) 계산 : 구간 [2, 4]
꼭짓점 x=4가 구간의 오른쪽 끝. 구간에서 f는 감소 → 최솟값 = f(4) = 0, 최댓값 = f(2) = a(2-4)² = 4a
→ g(2) = 4a
● g(6) 계산 : 구간 [6, 8]
꼭짓점 x=4가 구간 왼쪽 밖. 구간에서 f는 증가 → 최솟값 = f(6) = a(6-4)² = 4a, 최댓값 = f(8) = a(8-4)² = 16a
→ g(6) = 16a – 4a = 12a
조건 (나)에 대입 : g(2) + g(6) = 4a + 12a = 16a = 32
∴ a = 2, f(x) = 2(x-4)²
[Step 4] f(6) 계산 (최종)
f(6) = 2 × (6-4)² = 2 × 4 = 8
👉 정답 : ① 8
⚡ 시험용 직관적 빠른풀이 (1분 컷)
🧠 핵심 아이디어 한 줄 : “g(3) = a가 되는 가장 작은 차이 → 꼭짓점이 구간 중앙!”
✔ Step 1. 구간 [3, 5]의 중앙은 4. 꼭짓점이 중앙에 있을 때 최댓값이 가장 작음.
- 꼭짓점이 중앙일 때 : 양끝 거리 = 1 → 최댓값 = a·1² = a, 최솟값 = 0 → g(3) = a ✓
- 꼭짓점이 중앙을 벗어나면 양끝 중 먼 쪽까지 거리 > 1 → g(3) > a
- → b = 4 확정!
✔ Step 2. f(x) = a(x-4)². 꼭짓점은 x=4.
- g(2) : 구간 [2, 4] → 꼭짓점이 오른쪽 끝. 반대 끝까지 거리 2 → g(2) = a·2² = 4a
- g(6) : 구간 [6, 8] → 꼭짓점이 왼쪽 밖. 거리 2와 4 → g(6) = a·4² − a·2² = 12a
✔ Step 3. 4a + 12a = 16a = 32 → a = 2
✔ Step 4. f(6) = 2·(6−4)² = 8
💡 이 문제에서 꼭 기억할 3가지
- 경우 분류의 기준은 “꼭짓점과 구간의 상대적 위치” — 구간 밖(왼/오), 경계, 내부(왼/오/중앙)
- 구간 중앙에 꼭짓점이 있을 때 최댓값이 최소 — 대칭성에서 나오는 강력한 직관
- 조건이 2개면 미지수도 2개 — (가)는 b, (나)는 a를 결정하는 2단계 구조
📖 공식 해설 원본
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