[고1 수학] 2025년 6월 모의고사 30번 해설 | 이차함수 추론 킬러 완벽풀이 (답: 114)

📘 문제

고1 2025년 6월 모의고사 수학 30번 — 두 이차함수 f(x), g(x)의 관계를 추론하는 4점 고난도 문항입니다.

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🎯 출제자 의도

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🔑 문제풀이 핵심 단서

1. 식의 인수분해: 주어진 방정식은 {2x − f(x)}{2x − g(x)} = 0 으로 인수분해된다. → 이것이 출발점!
2. 그래프 언어로 번역: 방정식의 실근 = 직선 y = 2x (또는 y = 2k)와 이차함수 그래프의 교점
3. (나) 조건의 의미: 실근의 개수가 3이 되는 k 값이 정확히 3개 → 수평선 y = 2k가 교점 3개를 만드는 높이가 3개
4. f(x) ≥ g(x) 조건: f가 위, g가 아래가 아니라 그래프가 접해야 함 (등호 포함)

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⚡ 시험용 직관적 빠른풀이 (90초 컷)

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📝 상세 풀이

1단계. 방정식의 인수분해

(가)의 식을 정리하면:

4x² − 2{f(x)+g(x)}x + f(x)g(x) = {2x − f(x)}{2x − g(x)} = 0

따라서 실근의 개수는 2x = f(x) 또는 2x = g(x)의 실근을 합친 것(중복 제외).

2단계. (나) 조건의 그래프 해석

(나)의 식 4k² − 2{f(x)+g(x)}k + f(x)g(x) = 0은 {2k − f(x)}{2k − g(x)} = 0이므로,

• 직선 y = 2k와 y = f(x)의 교점 개수
• 직선 y = 2k와 y = g(x)의 교점 개수

의 합 (중복 제외)이 3이 되는 k가 정확히 3개 (즉, k = −1/2, 0, 1).

3단계. 그래프 개형의 경우 분류

f(x) − g(x) ≥ 0 (모든 x)이므로 f(x) ≥ g(x). 최고차항 부호에 따라 세 가지 경우를 검토합니다.

경우 ⅰ) 둘 다 아래로 볼록 (a>0, c>0)

→ 실근 3개가 되는 k가 2개 이하이므로 조건 불만족.

경우 ⅱ) 둘 다 위로 볼록 (a<0, c<0)

→ 마찬가지로 조건 불만족.

경우 ⅲ) f는 아래로 볼록(a>0), g는 위로 볼록(c<0)

→ [그림9] 개형만 모든 조건을 만족합니다. 즉, 원점에서 y = 2x에 f, g 두 그래프가 모두 접하는 경우.

4단계. 계수 결정

f(0) = g(0) = 0이므로:

• f(x) = ax² + bx (a > 0)
• g(x) = cx² + dx (c < 0)

접선 조건 1: ax² + bx = 2x → ax² + (b−2)x = 0, 판별식 D₁ = (b−2)² = 0 → b = 2

접선 조건 2: cx² + dx = 2x → cx² + (d−2)x = 0, 판별식 D₂ = (d−2)² = 0 → d = 2

최솟값 조건 (k = −1/2 → y = −1):
f(x) = ax² + 2x = a(x + 1/a)² − 1/a, 최솟값 −1/a = −1 → a = 1

최댓값 조건 (k = 1 → y = 2):
g(x) = cx² + 2x = c(x + 1/c)² − 1/c, 최댓값 −1/c = 2 → c = −1/2

5단계. 최종 계산

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💡 학습 포인트 정리

• ✅ 복잡한 방정식은 먼저 인수분해 구조부터 — 4x² − 2(합)x + (곱) 꼴은 {2x − α}{2x − β} 구조
• ✅ “실근 개수” = “그래프 교점 개수” 로 즉시 번역하는 습관
• ✅ 그래프 개형 문제는 경우 분류 — 최고차항 부호에 따라 체계적으로
• ✅ “접한다 = 판별식 = 0”, 극값은 완전제곱식으로 바로 보기
• ✅ 특수한 k값 (−1/2, 0, 1) ↔ 수평선 높이 (−1, 0, 2) — 이 연결이 핵심 열쇠