📌 문제 살펴보기 (고1 2024년 6월 28번, 4점)
이 문제는 다항식의 나눗셈 정리를 이용해, 몫과 나머지 조건만으로 이차식 f(x)와 일차식 g(x)의 정체를 추론하는 4점짜리 문항입니다. “나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 작다”는 원칙이 모든 열쇠입니다.
조건 정리
- f(x)는 이차다항식, g(x)는 일차다항식
- f(x)g(x)를 f(x) − 2x² 으로 나누었을 때
— 몫 : x² − 3x + 3
— 나머지 : f(x) + x·g(x)- 구할 값: f(−2) = ?
🎯 출제의도 한 줄 요약
“다항식의 나눗셈을 이용하여 다항식 추론하기”
→ A = B·Q + R (단, deg R < deg B)이라는 다항식 나눗셈 정리에서 차수 비교로 f(x)−2x²의 차수를 먼저 알아내는 것이 핵심입니다.
🔑 문제풀이 핵심 단서 3가지
- 나눗셈 정리 그대로 식 세우기
f(x)g(x) = {f(x) − 2x²}(x² − 3x + 3) + {f(x) + x·g(x)} - 양변의 차수 비교
좌변 f(x)g(x)는 (2차)×(1차) = 3차식. 따라서 우변도 3차식.
(x² − 3x + 3)이 이미 2차이므로 f(x) − 2x²는 1차식이어야 함. - 나머지의 차수는 나누는 식보다 작다
나누는 식이 1차식이므로 나머지 f(x) + x·g(x)는 상수(0차)여야 한다는 결정적 힌트!
🧠 단계별 쉬운 풀이
STEP 1. 나눗셈 정리로 식 ㉠ 세우기
f(x)g(x) = {f(x) − 2x²}(x² − 3x + 3) + f(x) + x·g(x) …㉠
STEP 2. 차수 비교로 f(x) − 2x²의 차수 결정
| 항목 | 차수 | 근거 |
|---|---|---|
| 좌변 f(x)g(x) | 3차 | 2차 × 1차 |
| x² − 3x + 3 | 2차 | 문제 조건 |
| f(x) − 2x² | 1차 | 3차 − 2차 |
| f(x) + x·g(x) (나머지) | 상수 | 나머지 < 1차 |
STEP 3. f(x), g(x)를 문자로 세팅
f(x) − 2x² = ax + b (a, b는 상수) 라 두면:
f(x) = 2x² + ax + b
STEP 4. “나머지가 상수”라는 조건으로 g(x) 결정
나머지 f(x) + x·g(x) = (2x² + ax + b) + x·g(x) 가 상수가 되려면, x·g(x)가 2x²과 ax를 모두 지워야 합니다.
즉, x·g(x) = −2x² − ax 이어야 하므로:
g(x) = −2x − a 이고 f(x) + x·g(x) = b
STEP 5. ㉠에 대입하여 식 ㉡ 만들기
f(x) = 2x² + ax + b, g(x) = −2x − a 를 ㉠에 대입:
(2x² + ax + b)(−2x − a) = (ax + b)(x² − 3x + 3) + b …㉡
STEP 6. 최고차항 계수 비교 → a 확정
㉡의 좌변 최고차항: 2x² × (−2x) = −4x³
㉡의 우변 최고차항: ax × x² = ax³
⟹ a = −4
STEP 7. x = 2 대입으로 b 확정 (꿀팁!)
좌변에 x = 2를 넣으면 (−2x − a) = −4 − (−4) = 0이 되어 좌변 전체가 0!
- 좌변: 0
- 우변: (−4·2 + b)(4 − 6 + 3) + b = (−8 + b)·1 + b = −8 + 2b
⟹ 0 = −8 + 2b ⟹ b = 4
STEP 8. f(x) 완성 & f(−2) 계산
f(x) = 2x² − 4x + 4
f(−2) = 2·4 − 4·(−2) + 4 = 8 + 8 + 4 = 20
⚡ 시험용 직관적 빠른풀이 (40초 컷)
- 차수 스캔: f·g = 3차 → (x²−3x+3)은 2차 → f−2x² = 1차, 나머지 = 상수
- 문자 세팅: f(x) = 2x² + ax + b ⟹ 나머지 = b 되려면 g(x) = −2x − a
- 최고차 비교: 좌변 2·(−2) = −4x³, 우변 a·x³ ⟹ a = −4
- x=2 대입 꿀팁: g(2) = −4 − (−4) = 0 → 좌변 = 0 → 0 = −8 + 2b → b = 4
- f(−2) 바로 계산: 2(4) + (−4)(−2) + 4 = 8 + 8 + 4 = 20
💡 핵심 팁: x = 2를 대입하면 g(2) = 0이 되어 좌변이 통째로 사라지는 “소거 포인트”를 노리는 것이 시간 단축의 열쇠입니다. (a = −4를 구한 뒤 확인하면 −2x − a = −2x + 4 = −2(x − 2))
📖 공식 해설지 원본
출제자가 제시한 공식 해설도 함께 확인해 보세요.
🧩 이 문제에서 꼭 챙겨야 할 개념 체크
- 다항식 나눗셈 정리: A(x) = B(x)·Q(x) + R(x), 단 deg R(x) < deg B(x)
- 차수 비교 원칙: 항등식이면 좌·우변의 차수와 최고차항 계수가 같다
- 계수 비교 vs 수치 대입: 둘을 섞어 쓰면 식이 짧아진다 (특히 인수가 0이 되는 값 활용)
- 상수식 조건: “나머지가 상수”라는 말은 변수 항이 모두 사라져야 한다는 뜻
❓ 자주 묻는 질문 (FAQ)
Q1. 왜 f(x) − 2x²가 굳이 1차식이어야 하나요?
A. 좌변 f·g가 3차이고, 우변의 (x²−3x+3)이 이미 2차이므로, 곱해서 3차가 되려면 f(x)−2x²가 정확히 1차여야 합니다. 0차(상수)이면 우변이 2차가 되고, 2차이면 4차가 되어 모순입니다.
Q2. 왜 나머지가 상수라고 단정할 수 있나요?
A. 다항식 나눗셈에서 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 반드시 작습니다. 나누는 식 f(x)−2x²가 1차이므로 나머지는 0차(=상수)일 수밖에 없습니다.
Q3. x = 2 대입은 어떻게 떠올렸나요?
A. a = −4가 확정된 순간 g(x) = −2x + 4 = −2(x − 2) 꼴이 되어 x = 2에서 g(2) = 0. 좌변이 통째로 0이 되므로 계산이 가장 단순해집니다. 모르고도 계수 비교를 쭉 하면 풀리지만, 시간은 두 배로 듭니다.
Q4. a, b 대신 다른 문자를 써도 되나요?
A. 네, 편한 문자로 두세요. 중요한 건 1차식이라는 정보를 정확히 반영하는 것입니다.
— 고1 2024년 6월 모의고사 28번 완전정복 해설 끝 —