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서로 다른 방식으로 주어진 두 직선의 교점을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (직선 l₁) 두 점 (2,1), (0,-1)을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
2. (직선 l₂) x절편 4, y절편 8을 이용해 절편 공식으로 직선의 방정식을 구합니다.
3. 1단계와 2단계에서 구한 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표 (a, b)를 찾습니다.
주의할 점:
다양한 조건(두 점, 절편 등)으로부터 직선의 방정식을 능숙하게 구할 수 있는지 확인하는 문제입니다. 연립방정식 계산을 정확히 해야 합니다.
”
두 직선의 교점 좌표 구하기
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x절편과 y절편 사이의 관계가 주어지고, 특정 점을 지나는 조건을 이용해 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. x절편을 a라고 두면, y절편은 절댓값이 같고 부호가 반대이므로 -a가 됩니다.
2. 절편 공식을 이용해 직선의 방정식을 a를 포함한 상태로 세웁니다: x/a + y/(-a) = 1.
3. 이 직선이 점 (4, -1)을 지난다고 했으므로, 좌표를 식에 대입하여 a값을 구합니다.
4. a값이 정해지면 직선의 방정식이 확정되며, y절편(-a)을 구할 수 있습니다.
주의할 점:
‘절댓값이 같고 부호가 반대’라는 조건을 식으로 정확히 표현하는 것이 중요합니다. 이 경우 기울기는 항상 1이 됩니다.
”
절편의 관계를 이용한 직선 구하기
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x절편과 y절편이 주어졌을 때 직선의 방정식을 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. x절편이 a, y절편이 b인 직선의 방정식 공식, 즉 **x/a + y/b = 1** 을 이용합니다.
2. 문제에 주어진 x절편 2, y절편 -5를 공식에 대입합니다.
3. 만들어진 식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 정수 계수로 정리합니다.
4. 최종적으로 문제에서 요구하는 형태와 계수를 비교하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
절편 공식을 사용하면 매우 빠르고 쉽게 풀 수 있습니다. 이 공식을 모른다면, 두 점 (2,0)과 (0,-5)를 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법으로도 풀 수 있습니다.
”
x절편과 y절편으로 직선 구하기
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등변사다리꼴의 성질을 이용하여 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (나) 조건에서 AD와 BC가 평행하고 AB=CD이므로, 사각형 ABCD는 등변사다리꼴입니다.
2. 평행한 두 직선 AD와 BC의 기울기는 같습니다. 이를 이용해 p, q 사이의 관계식을 하나 얻습니다.
3. AB의 길이는 주어진 좌표로 쉽게 구할 수 있습니다. CD의 길이를 p,q에 대한 식으로 나타내고, AB=CD라는 조건으로 두 번째 관계식을 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 p, q의 값을 구합니다. 이때 (가) 조건(기울기 음수)을 활용합니다.
주의할 점:
문제의 조건들을 기하학적으로 해석하여 ‘등변사다리꼴’임을 파악하는 것이 중요합니다. 평행 조건(기울기 같음)과 등변 조건(길이 같음)을 모두 사용해야 합니다.
”
등변사다리꼴의 성질과 좌표
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삼각형의 닮음과 넓이 비의 관계를 이용해 선분의 내분점을 찾고, 이를 통해 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건에서 선분 DE와 BC가 평행하므로, 삼각형 ADE와 ABC는 **닮음 관계**입니다.
2. (나) 조건에서 넓이의 비가 1:9 이므로, **닮음비(길이의 비)는 1:3** 입니다.
3. 따라서 AD:AB = AE:AC = 1:3 이며, 이는 점 E가 선분 AC를 **1:2로 내분하는 점**임을 의미합니다.
4. 내분점 공식을 이용해 점 E의 좌표를 구합니다.
5. 두 점 B와 E를 지나는 직선의 방정식을 구하여 기울기 k를 찾습니다.
주의할 점:
넓이의 비가 m:n 이면, 길이의 비(닮음비)는 √m : √n 이라는 점을 정확히 적용해야 합니다.
”
삼각형의 닮음과 넓이 비 활용
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이차함수의 꼭짓점과 y절편을 지나는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 이차함수 식을 **완전제곱식**으로 변형하여 꼭짓점 A의 좌표를 미지수 p를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 이차함수의 y절편은 x=0일 때의 y값이므로, 점 B의 좌표를 쉽게 구할 수 있습니다.
3. 두 점 A, B의 좌표를 이용해 직선 l의 방정식을 p에 대한 식으로 세웁니다.
4. 식을 정리하면 p가 소거되고, x절편을 구할 수 있습니다.
주의할 점:
이차함수의 꼭짓점과 y절편을 문자를 이용해 정확히 표현하는 것이 첫 단계입니다. 계산 과정이 복잡해 보이지만, 문자가 약분되어 사라지는 구조임을 파악해야 합니다.
”
이차함수 꼭짓점과 y절편을 지나는 직선
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두 직선의 교점과 또 다른 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 두 직선의 방정식을 **연립**하여 교점의 좌표를 구합니다.
2. 이제 직선이 지나는 두 점(1단계에서 구한 교점과 문제에 주어진 점 (4,0))의 좌표를 모두 알게 되었습니다.
3. 이 두 점을 이용해 직선의 방정식을 구하고, 문제에서 요구하는 y절편을 찾습니다.
주의할 점:
연립방정식을 풀 때 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다. ‘두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식’ 공식을 활용하여 풀 수도 있지만, 직접 교점을 구하는 것이 더 직관적일 수 있습니다.
”
두 직선의 교점과 한 점을 지나는 직선
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사각형의 두 대각선의 교점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 사각형의 두 대각선은 선분 AC와 선분 BD입니다.
2. 대각선의 교점은 **두 대각선(직선 AC와 직선 BD)의 교점**과 같습니다.
3. 두 점 A, C의 좌표를 이용해 직선 AC의 방정식을 구합니다.
4. 두 점 B, D의 좌표를 이용해 직선 BD의 방정식을 구합니다.
5. 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표 (a, b)를 구합니다.
주의할 점:
단순히 네 점의 평균을 구하는 등의 잘못된 풀이를 하지 않도록 주의해야 합니다. 두 직선의 교점을 찾는 것이 정석적인 해법입니다.
”
두 대각선의 교점 좌표 구하기
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삼각형의 넓이 비를 선분의 내분비로 해석하여, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABP와 APC는 꼭짓점 A를 공유하고 밑변이 한 직선 위에 있으므로 높이가 같습니다. 따라서 넓이의 비는 밑변의 길이 비와 같습니다.
2. 넓이 비가 2:1이므로, BP:PC = 2:1 입니다. 즉, 점 P는 선분 BC를 2:1로 내분하는 점입니다.
3. 내분점 공식을 이용해 P의 좌표를 구합니다.
4. 두 점 A와 P의 좌표를 이용해 직선의 방정식을 구하고, 계수를 비교하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
평면좌표 단원에서 배운 ‘내분점’ 개념과 직선의 방정식 단원의 개념이 융합된 문제입니다. 넓이 비를 내분비로 해석하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
삼각형 넓이 비를 이용한 직선 구하기
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삼각형의 한 꼭짓점과 그 무게중심을 지나는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 G의 좌표를 구합니다.
2. 이제 직선이 지나는 두 점, 즉 꼭짓점 A와 무게중심 G의 좌표를 모두 알게 되었습니다.
3. 두 점 A, G의 좌표를 이용해 직선의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
꼭짓점과 무게중심을 지나는 직선은 그 꼭짓점의 대변의 중점을 지난다는 기하학적 성질(중선)을 알고 있다면, 무게중심 대신 대변의 중점을 구해서 풀어도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
”
꼭짓점과 무게중심을 지나는 직선
