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주어진 직선의 그래프 개형을 통해 계수 a, b, c의 부호를 판별하고, 이를 이용해 새로운 직선의 개형을 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선 ax+by+c=0을 y에 대해 정리하여 기울기(-a/b)와 y절편(-c/b)을 구합니다.
2. 그래프의 모양(우하향, y절편 양수)을 보고 기울기와 y절편의 부호를 판단합니다. (기울기 0)
3. 이를 통해 a, b, c 사이의 부호 관계를 알아냅니다. (ab>0, bc4. 새로운 직선 cx-by-a=0의 기울기(c/b)와 y절편(a/b)의 부호를 3단계에서 얻은 정보로 판단합니다.
5. 기울기와 y절편의 부호에 맞는 그래프 개형을 보기에서 찾습니다.
주의할 점:
계수 자체의 부호가 아니라, 기울기와 y절편을 구성하는 계수들의 ‘비’의 부호를 판단하는 것이 핵심입니다.
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직선 계수의 부호 판별하기
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직선과 축의 교점을 두 꼭짓점으로 하는 정사각형의 나머지 꼭짓점을 찾고, 그 점을 지나는 새로운 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 구합니다.
2. 꼭짓점 C, D의 좌표를 미지수로 설정합니다.
3. 정사각형의 성질(모든 변의 길이가 같고, 이웃한 변이 수직)을 이용합니다. 특히, **두 삼각형의 합동**을 이용하면 점 C, D의 좌표를 쉽게 찾을 수 있습니다.
4. 두 점 C, D를 지나는 직선의 방정식을 구하고 y절편을 찾습니다.
주의할 점:
좌표평면 위의 정사각형 문제는 기울기나 합동 관계를 이용하면 복잡한 거리 계산 없이도 풀리는 경우가 많습니다. 그림에서 합동인 직각삼각형을 찾아보는 것이 좋은 전략입니다.
”
정사각형의 꼭짓점을 지나는 직선
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두 직선으로부터 각각 x절편과 y절편을 찾아 새로운 직선을 만들고, 그 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 다단계 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 직선에서 y=0을 대입해 x절편 P의 좌표를 구합니다.
2. 두 번째 직선에서 x=0을 대입해 y절편 Q의 좌표를 구합니다.
3. 이제 두 점 P, Q를 지나는 새로운 직선 PQ의 방정식을 구합니다.
4. 이 직선 PQ의 x절편과 y절편은 이미 P, Q이므로, 이 값들을 이용해 삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
문제의 지시를 차근차근 따라가며 각 단계에서 필요한 값을 정확히 구하는 것이 중요합니다. 여러 직선이 등장하므로 혼동하지 않도록 주의하세요.
”
두 직선의 절편으로 만든 새 직선의 넓이
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직선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 주어졌을 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 x절편과 y절편을 각각 구합니다. 이들이 삼각형의 밑변과 높이가 됩니다.
2. 삼각형의 넓이 공식, 즉 **1/2 * |x절편| * |y절편|** 을 이용해 넓이를 식으로 표현합니다.
3. 이 넓이가 12와 같다고 등식을 세워 미지수 k의 값을 구합니다.
주의할 점:
절편 값은 음수가 될 수 있지만, 길이는 항상 양수이므로 넓이 계산 시 절댓값을 취하는 것을 잊지 말아야 합니다. (이 문제에서는 양수 k 조건이 있어 절편이 모두 양수입니다.)
”
직선과 좌표축으로 둘러싸인 넓이
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직선이 x축, y축에 의해 잘린 선분의 길이를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 x절편과 y절편을 각각 구합니다. (x절편: y=0 대입, y절편: x=0 대입)
2. 잘린 선분은 x절편 지점과 y절편 지점을 잇는 선분입니다.
3. 두 절편 지점 사이의 거리가 5라는 것을 피타고라스 정리 또는 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 세웁니다.
4. 이 방정식을 풀어 ‘양수 a’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
x절편, y절편, 그리고 원점을 세 꼭짓점으로 하는 직각삼각형을 상상하면, 잘린 선분은 그 직각삼각형의 빗변이 됩니다.
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좌표축에 잘린 선분의 길이 구하기
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서로 다른 방식으로 주어진 두 직선의 교점을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (직선 l₁) 두 점 (2,1), (0,-1)을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
2. (직선 l₂) x절편 4, y절편 8을 이용해 절편 공식으로 직선의 방정식을 구합니다.
3. 1단계와 2단계에서 구한 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표 (a, b)를 찾습니다.
주의할 점:
다양한 조건(두 점, 절편 등)으로부터 직선의 방정식을 능숙하게 구할 수 있는지 확인하는 문제입니다. 연립방정식 계산을 정확히 해야 합니다.
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두 직선의 교점 좌표 구하기
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x절편과 y절편 사이의 관계가 주어지고, 특정 점을 지나는 조건을 이용해 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. x절편을 a라고 두면, y절편은 절댓값이 같고 부호가 반대이므로 -a가 됩니다.
2. 절편 공식을 이용해 직선의 방정식을 a를 포함한 상태로 세웁니다: x/a + y/(-a) = 1.
3. 이 직선이 점 (4, -1)을 지난다고 했으므로, 좌표를 식에 대입하여 a값을 구합니다.
4. a값이 정해지면 직선의 방정식이 확정되며, y절편(-a)을 구할 수 있습니다.
주의할 점:
‘절댓값이 같고 부호가 반대’라는 조건을 식으로 정확히 표현하는 것이 중요합니다. 이 경우 기울기는 항상 1이 됩니다.
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절편의 관계를 이용한 직선 구하기
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x절편과 y절편이 주어졌을 때 직선의 방정식을 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. x절편이 a, y절편이 b인 직선의 방정식 공식, 즉 **x/a + y/b = 1** 을 이용합니다.
2. 문제에 주어진 x절편 2, y절편 -5를 공식에 대입합니다.
3. 만들어진 식의 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 정수 계수로 정리합니다.
4. 최종적으로 문제에서 요구하는 형태와 계수를 비교하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
절편 공식을 사용하면 매우 빠르고 쉽게 풀 수 있습니다. 이 공식을 모른다면, 두 점 (2,0)과 (0,-5)를 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법으로도 풀 수 있습니다.
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x절편과 y절편으로 직선 구하기
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등변사다리꼴의 성질을 이용하여 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (나) 조건에서 AD와 BC가 평행하고 AB=CD이므로, 사각형 ABCD는 등변사다리꼴입니다.
2. 평행한 두 직선 AD와 BC의 기울기는 같습니다. 이를 이용해 p, q 사이의 관계식을 하나 얻습니다.
3. AB의 길이는 주어진 좌표로 쉽게 구할 수 있습니다. CD의 길이를 p,q에 대한 식으로 나타내고, AB=CD라는 조건으로 두 번째 관계식을 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 p, q의 값을 구합니다. 이때 (가) 조건(기울기 음수)을 활용합니다.
주의할 점:
문제의 조건들을 기하학적으로 해석하여 ‘등변사다리꼴’임을 파악하는 것이 중요합니다. 평행 조건(기울기 같음)과 등변 조건(길이 같음)을 모두 사용해야 합니다.
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등변사다리꼴의 성질과 좌표
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삼각형의 닮음과 넓이 비의 관계를 이용해 선분의 내분점을 찾고, 이를 통해 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건에서 선분 DE와 BC가 평행하므로, 삼각형 ADE와 ABC는 **닮음 관계**입니다.
2. (나) 조건에서 넓이의 비가 1:9 이므로, **닮음비(길이의 비)는 1:3** 입니다.
3. 따라서 AD:AB = AE:AC = 1:3 이며, 이는 점 E가 선분 AC를 **1:2로 내분하는 점**임을 의미합니다.
4. 내분점 공식을 이용해 점 E의 좌표를 구합니다.
5. 두 점 B와 E를 지나는 직선의 방정식을 구하여 기울기 k를 찾습니다.
주의할 점:
넓이의 비가 m:n 이면, 길이의 비(닮음비)는 √m : √n 이라는 점을 정확히 적용해야 합니다.
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삼각형의 닮음과 넓이 비 활용
