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원점에서 직선까지의 거리가 가장 가까운 점, 즉 수선의 발을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원점에서 직선에 가장 가까운 점은, 원점에서 그 직선에 내린 수선의 발입니다.
2. 따라서 원점을 지나는 직선과 주어진 직선이 서로 수직으로 만나야 합니다.
3. 주어진 직선의 기울기를 구하고, 그것과 수직인 직선(원점을 지남)의 기울기를 찾습니다.
4. 원점을 지나고 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구합니다.
5. 원래 직선과 수선의 교점을 찾으면, 그것이 구하는 점의 좌표입니다.
주의할 점:
‘가장 가까운 점’이라는 표현이 ‘수선의 발’을 의미한다는 것을 기하학적으로 이해하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
교점을 지나는 직선의 수선의 발
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202번 문제와 동일하게 한 점에서 직선에 내린 수선의 발을 찾는 문제입니다. 최종적으로 원점과의 거리를 묻는 단계가 추가되었습니다.
접근법:
1. (수직 기울기) 주어진 직선의 기울기를 구하고, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾습니다.
2. (수선 방정식) 점 A(4,7)을 지나고 1단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선(수선)의 방정식을 구합니다.
3. (교점 찾기) 수선의 발 H는 원래 직선과 수선의 교점입니다. 두 직선의 방정식을 연립하여 H의 좌표를 구합니다.
4. (거리 계산) 원점 O와 점 H 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
202번과 같이 H의 좌표를 미지수로 설정하는 방법도 있고, 이 풀이처럼 수선의 방정식을 직접 구하는 방법도 있습니다. 두 가지 방법 모두 익혀두는 것이 좋습니다.
”
원점에서 직선까지 가장 가까운 점
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한 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표를 구하는 대표적인 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 수선의 발 H는 주어진 직선 위의 점입니다. 따라서 H의 좌표를 미지수 a를 이용해 (a, a+1)로 설정할 수 있습니다.
2. (수직 조건) 선분 AH와 주어진 직선은 서로 수직입니다. 따라서 두 직선의 기울기의 곱은 -1이 되어야 합니다.
3. 이 수직 조건을 이용해 a에 대한 방정식을 세워 풀면 점 H의 좌표를 확정할 수 있습니다.
주의할 점:
수선의 발 문제는 (1) 주어진 직선 위의 점이다, (2) 두 직선이 수직이다, 라는 두 가지 조건을 이용해 연립방정식을 푼다는 핵심 원리를 기억하는 것이 중요합니다.
”
수선의 발 좌표와 원점 거리
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이차함수의 접선과 그 접선에 수직인 직선(법선)의 방정식을 구하고, 이를 이용해 삼각형의 넓이를 구하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (접선 구하기) 점 P(1,1)을 지나는 직선이 이차함수에 접하므로, 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식 D=0 임을 이용해 접선의 기울기를 찾습니다.
2. (법선 구하기) 법선은 접선과 수직이므로, 접선의 기울기를 이용해 법선의 기울기(음수의 역수)를 구하고 방정식을 세웁니다.
3. (교점/절편 찾기) 접선의 y절편(Q), 법선과 이차함수의 또 다른 교점(R)의 좌표를 각각 구합니다.
4. (넓이 계산) 세 점 P, Q, R의 좌표를 이용해 ‘신발끈 공식’ 등으로 삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
수학II 과정에서는 미분을 사용하지 않으므로, 이차함수의 접선은 판별식을 이용해 구하는 연습이 필요합니다. 계산 과정이 길기 때문에 각 단계별 목표를 명확히 해야 합니다.
”
한 점에서 직선에 내린 수선의 발
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두 직선이 서로 수직으로 만나는 조건을 이용하여, 삼각형의 무게중심을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선 AP와 BP가 점 P에서 수직으로 만나므로, 두 직선의 기울기의 곱은 -1 입니다.
2. 직선 AP의 기울기를 구하고, 직선 BP의 기울기를 미지수 n을 포함한 식으로 구합니다.
3. 두 기울기의 곱이 -1이라는 방정식을 풀어 n의 값을 확정하고, 점 B의 좌표를 구합니다.
4. 이제 세 꼭짓점 A, B, P의 좌표를 모두 알았으므로, 무게중심 공식을 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
수직 조건을 이용해 미지수를 먼저 해결하고, 그 결과를 바탕으로 무게중심을 구하는 단계적 풀이가 필요합니다.
”
접선과 법선을 이용한 삼각형 넓이
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이등변삼각형의 성질과 수직 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 ABC가 AB=AC인 이등변삼각형이므로, 꼭짓점 A에서 밑변 BC에 내린 중선은 밑변을 수직이등분합니다.
2. 문제에서 선분 BC의 중점이 y축 위에 있다고 주어졌습니다. 이 중점을 M이라 합시다.
3. 따라서 직선 AM은 직선 BC(또는 직선 y=m(x-2))와 서로 수직입니다.
4. 직선 AM의 기울기와 직선 BC의 기울기(m)의 곱이 -1이라는 등식을 세워 m값을 구합니다.
주의할 점:
이등변삼각형의 꼭지각의 꼭짓점과 밑변의 중점을 이은 선분은 밑변에 수직이라는 핵심적인 기하학적 성질을 적용하는 것이 중요합니다.
”
두 직선의 수직 조건과 무게중심
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197번 문제와 동일하게, 마름모의 대각선이 서로 수직이등분함을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 대각선 AC의 길이가 주어졌으므로, 두 점 A, C 사이의 거리 공식을 이용해 미지수 n의 값을 먼저 구합니다.
2. 점 C의 좌표가 확정되면, 197번과 동일하게 직선 BD는 선분 AC의 수직이등분선임을 이용합니다.
3. 선분 AC의 중점과 수직 기울기를 구해 직선 BD의 방정식을 찾고, 계수를 비교하여 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
문제 해결을 위해 대각선의 길이 조건을 먼저 사용하여 모든 꼭짓점의 정보를 확정한 뒤, 수직이등분선 개념을 적용하는 순서로 풀어야 합니다.
”
이등변삼각형과 수직 조건
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마름모의 가장 중요한 성질인 ‘두 대각선이 서로를 수직이등분한다’를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 직선 BD는 다른 대각선 AC의 **수직이등분선**입니다.
2. **(수직 조건)** 두 점 A, C를 지나는 직선 AC의 기울기를 구하고, 그것의 음수의 역수를 구해 직선 BD의 기울기를 찾습니다.
3. **(이등분 조건)** 두 점 A, C의 중점 M의 좌표를 구합니다. 이 중점은 직선 BD 위에 있습니다.
4. 3단계에서 구한 중점 M을 지나고 2단계에서 구한 기울기를 갖는 직선 BD의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
마름모의 대각선 문제는 거의 항상 ‘수직’과 ‘이등분(중점)’이라는 두 가지 키워드로 해결됩니다. 이 성질을 반드시 기억해야 합니다.
”
마름모의 대각선 길이와 수직이등분
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정삼각형의 기하학적 성질과 무게중심, 그리고 수직 조건을 종합적으로 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 정삼각형의 무게중심은 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 중선(이자 높이) 위에 있습니다. 즉, 직선 AG는 변 BC와 수직입니다.
2. 무게중심이 원점이므로, 직선 AG의 방정식(y=3x)을 알 수 있습니다.
3. 직선 BC는 직선 AG와 수직이므로, 기울기는 -1/3 입니다.
4. 무게중심은 중선을 2:1로 내분하므로, OA=2OM (M은 BC의 중점) 입니다. 이를 이용해 M의 좌표를 구합니다.
5. 점 M을 지나고 기울기가 -1/3인 직선 BC의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 다양한 성질(무게중심=외심, 중선=높이=수직이등분선)을 적극적으로 활용해야 풀이가 간결해집니다.
”
마름모의 대각선은 수직이등분
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넓이가 같을 조건을 이용하여 x축 위의 점 좌표를 찾는 문제입니다. 192번 문제와 유사한 원리를 사용합니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABD와 ABC는 밑변 AB가 공통입니다.
2. 넓이가 같으려면 **높이가 같아야** 합니다. 즉, 점 D에서 직선 AB까지의 거리와 점 C에서 직선 AB까지의 거리가 같아야 합니다.
3. 이는 직선 CD가 직선 AB와 **평행**하다는 것을 의미합니다.
4. 직선 AB의 기울기를 구하고, 점 C를 지나면서 이와 평행한 직선 CD의 방정식을 구합니다.
5. 점 D는 x축 위의 점이므로, 구한 직선의 방정식에 y=0을 대입하여 x좌표 a를 구합니다.
주의할 점:
밑변이 공통인 두 삼각형의 넓이가 같으면, 두 꼭짓점을 이은 선분은 밑변과 평행하다는 기하학적 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
정삼각형과 무게중심, 수직 조건
