“
두 개의 정점을 지나는 직선들의 위치 관계에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) a=0일 때의 두 직선 l, m의 방정식을 각각 구하고, 두 직선이 수직인지 기울기를 통해 확인합니다.
2. (보기 ㄴ) 직선 l의 방정식을 미지수 a에 대해 정리하여, a값에 관계없이 항상 지나는 정점의 좌표를 구합니다.
3. (보기 ㄷ) 두 직선 l, m이 평행할 조건을 식으로 세워봅니다. 이 방정식을 만족하는 실수 a값이 존재하는지 확인합니다.
주의할 점:
보기 ㄷ을 풀 때, a=0인 경우와 a≠0인 경우를 나누어 생각해야 합니다. a=0일 때는 ㄱ에서 이미 수직임을 확인했으므로 평행이 아니며, a≠0일 때 평행 조건을 만족하는 실수가 없는지를 보여주면 됩니다.
”
두 직선의 교점을 지나는 직선
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212번 문제와 동일하게, 정점을 지나는 직선의 성질에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) k=2를 직접 대입하여 나온 직선의 방정식이 x=상수 형태(y축 평행)인지, y=상수 형태(x축 평행)인지 확인합니다.
2. (보기 ㄴ) k=3을 대입하여 직선의 방정식을 구하고, 주어진 다른 직선과의 수직 여부를 기울기의 곱이 -1인지 확인하여 판단합니다.
3. (보기 ㄷ) k=-1을 대입하여 직선의 방정식을 구하고, 주어진 다른 직선과의 평행/일치 여부를 확인하여 만나는 점이 있는지 판단합니다.
주의할 점:
각 보기는 서로 다른 k값에 대한 특정 상황을 묻고 있습니다. k값을 정확히 대입하여 직선의 방정식을 구하고, 주어진 조건을 만족하는지 확인하면 됩니다.
”
두 정점을 지나는 직선의 관계 판별
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정점을 지나는 직선의 여러 가지 성질에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 209번과 같이 k에 대해 정리하여 정점의 좌표를 직접 구해보고, 주어진 점과 일치하는지 확인합니다.
2. (보기 ㄴ) k=-1을 직접 대입하여 나온 직선의 방정식이 x=상수 형태인지 확인합니다. x=상수 형태의 직선은 y축에 평행합니다.
3. (보기 ㄷ) 직선의 방정식을 y에 관해 정리하여 기울기를 k에 대한 식으로 표현합니다. 이 기울기가 -2가 될 수 있는지, 즉 (기울기 식) = -2 라는 방정식의 해 k가 존재하는지 확인합니다.
주의할 점:
정점을 지나는 직선은 기울기가 고정되어 있지 않고 계속 변하지만, 유일하게 표현할 수 없는 직선이 하나 존재합니다. k의 계수가 0이 되는 경우의 직선은 표현이 불가능할 수 있다는 점에 유의해야 합니다.
”
정점을 지나는 직선의 조건 판별
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한 점 (a,b)가 특정 직선 위를 움직일 때, a, b를 계수로 갖는 또 다른 직선이 항상 지나는 점(정점)을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (a,b)가 직선 2x-y-1=0 위의 점이므로, **b=2a-1** 이라는 관계식이 성립합니다.
2. 구하려는 직선 ax-3by=6 에 위 관계식을 **대입**하여 문자 b를 소거합니다. 그러면 a와 x, y만 남는 식이 됩니다.
3. 2단계에서 얻은 식을 미지수 a에 대하여 정리하여 **A * a + B = 0** 형태로 만듭니다.
4. 이 식이 모든 a에 대해 항상 지나는 점을 찾기 위해, 항등식의 원리에 따라 A=0, B=0을 연립하여 풀면 정점의 좌표를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
두 개의 미지수(a,b)를 하나의 관계식을 이용해 하나의 미지수(a)로 줄인 뒤, 그 미지수에 대한 항등식으로 풀어내는 것이 핵심적인 해결 과정입니다.
”
정점을 지나는 직선의 성질 판별
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209번 문제와 동일하게, 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 점(정점)을 찾고, 그 점을 지나는 새로운 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 방정식을 k에 대하여 정리하여 정점의 좌표를 찾습니다.
2. 문제에서 이 정점을 지나고 기울기가 1인 새로운 직선의 방정식을 구하라고 했습니다.
3. 1단계에서 구한 점의 좌표와 기울기 1을 이용해 점-기울기 형태로 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
정점을 찾는 방법(k에 대한 항등식 풀이)을 정확히 숙지하고 있어야 다음 단계로 넘어갈 수 있는 문제입니다.
”
움직이는 점 계수를 갖는 직선의 정점
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미지수 k를 포함한 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 점(정점)을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 방정식을 미지수 k에 대하여 정리합니다. 즉, k가 있는 항과 없는 항으로 묶어 **A * k + B = 0** 형태로 만듭니다.
2. 이 식이 k값에 관계없이 항상 성립하려면(k에 대한 항등식), A=0 이고 동시에 B=0 이어야 합니다.
3. 두 개의 방정식 A=0, B=0을 연립하여 풀면 정점 P의 x, y 좌표를 구할 수 있습니다.
4. 원점 O와 점 P 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
‘~값에 관계없이 항상 지나는 점’이라는 표현이 나오면, 그 문자에 대한 항등식으로 문제를 해석하는 것이 정석적인 풀이법입니다.
”
정점을 지나고 기울기가 주어진 직선
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세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 수심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 세 직선의 교점을 각각 구하여, 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 찾습니다.
2. 세 꼭짓점의 좌표를 알았으므로, 206번, 207번 문제와 동일한 방법으로 수심의 좌표를 구합니다.
3. 계산이 간단한 수선 두 개(예: 꼭짓점 A를 지나고 변 BC에 수직인 직선, 꼭짓점 B를 지나고 변 AC에 수직인 직선)의 방정식을 구해 교점을 찾습니다.
주의할 점:
주어진 직선 중 하나가 y=0(x축)이므로, x축에 대한 수선은 x=k 형태의 간단한 방정식이 되어 계산이 편리해집니다.
”
k값에 관계없이 항상 지나는 정점
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206번 문제와 완전히 동일한 유형으로, 삼각형의 수심 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (수선 1) 꼭짓점 A를 지나면서 변 BC에 수직인 직선의 방정식을 구합니다. (BC의 기울기 구하기 -> 수직 기울기 찾기 -> 점 A를 지나는 직선 구하기)
2. (수선 2) 꼭짓점 C를 지나면서 변 AB에 수직인 직선의 방정식을 구합니다. (AB의 기울기 구하기 -> 수직 기울기 찾기 -> 점 C를 지나는 직선 구하기)
3. 두 수선의 방정식을 연립하여 교점을 찾습니다.
주의할 점:
어떤 꼭짓점과 변을 선택하는지에 따라 계산의 복잡도가 달라질 수 있습니다. 좌표에 0이 포함되거나 숫자가 작은 변을 선택하는 것이 유리합니다.
”
세 직선으로 만들어진 삼각형의 수심
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삼각형의 각 꼭짓점에서 마주보는 변에 내린 세 수선이 만나는 점(수심)의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 개의 수선 중 계산하기 편한 두 개의 수선의 방정식을 구하면 됩니다.
2. (수선 1) 꼭짓점 A를 지나고 변 BC에 수직인 직선의 방정식을 구합니다.
3. (수선 2) 꼭짓점 C를 지나고 변 AB에 수직인 직선의 방정식을 구합니다.
4. 2단계와 3단계에서 구한 두 수선의 방정식을 연립하여 교점 H의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
수심은 외심, 내심, 무게중심과 함께 삼각형의 중요한 점 중 하나입니다. ‘수선의 교점’이라는 정의를 이용해 방정식을 세워 푸는 정석적인 문제입니다.
”
수심의 좌표 구하기
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두 직선의 교점을 지나고, 원점에서 내린 수선의 발을 찾는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
2. 이 교점과 문제에서 주어진 또 다른 점(2,3)을 지나는 직선 l의 방정식을 구합니다.
3. 원점에서 직선 l에 내린 수선의 발을 찾는 것은, 204번 문제와 동일한 원리를 적용합니다.
4. 원점을 지나면서 직선 l에 수직인 직선의 방정식을 구하고, 두 직선의 교점을 찾습니다.
주의할 점:
여러 단계를 거치는 문제입니다. 교점 구하기 -> 직선의 방정식 구하기 -> 수선의 발 구하기 순서로 차근차근 해결해야 합니다.
”
삼각형의 수심(세 수선의 교점)
