“
정점을 지나는 직선이 삼각형과 만나도록 하는 기울기의 최댓값과 최솟값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수 k를 포함한 직선의 정점을 찾습니다. (이 문제에서는 (-2,-4))
2. 직선이 삼각형과 만나려면, 그 기울기는 세 꼭짓점 A, B, C를 지날 때의 기울기들 사이에 있어야 합니다.
3. 정점과 세 꼭짓점 A, B, C를 각각 지날 때의 기울기를 모두 구합니다.
4. 구한 세 개의 기울기 값 중 **가장 큰 값이 최댓값(M), 가장 작은 값이 최솟값(m)**이 됩니다.
주의할 점:
직선이 도형과 만나는 문제는, 직선이 그 도형의 ‘꼭짓점’을 지날 때가 항상 경계가 된다는 점을 이용하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
”
정점을 지나는 넓이 이등분선
“
정점을 지나는 직선이 선분과 만나도록 하는 기울기의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선의 정점을 찾습니다. (이 문제에서는 (5,1))
2. 직선이 선분 AB와 만나려면, 그 직선은 **점 A를 지날 때와 점 B를 지날 때의 사이**에 위치해야 합니다.
3. 정점과 점 A를 지날 때의 기울기 m값을 구합니다.
4. 정점과 점 B를 지날 때의 기울기 m값을 구합니다.
5. 두 기울기 값의 사이 범위가 바로 구하는 m의 범위가 됩니다.
주의할 점:
‘직선’이 아닌 ‘선분’과 만나는 조건이므로, 양 끝점을 지날 때가 경계가 됩니다. 경계값을 포함하는지(만나도 되는지) 확인하여 부등식을 세워야 합니다.
”
정점을 지나는 직선과 삼각형의 교점
“
두 직선이 특정 사분면에서 만나도록 하는 미지수(기울기)의 범위를 찾는 문제입니다. 정점을 지나는 직선의 활용입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선이 m값에 관계없이 항상 지나는 정점을 먼저 찾습니다. (이 문제에서는 (2,1))
2. 정해진 직선(x-y+4=0)의 그래프를 그리고, 제2사분면 영역을 표시합니다.
3. 정점 (2,1)을 중심으로 직선을 회전시킨다고 생각했을 때, 제2사분면에서 만나기 위한 **경계 지점**을 찾습니다. 경계는 정해진 직선의 x절편(-4,0)과 y절편(0,4)을 지날 때입니다.
4. 두 경계 지점을 지날 때의 기울기 m값을 각각 구하고, 그 사이 범위를 답으로 합니다.
주의할 점:
기울기의 범위를 정할 때, 두 경계값을 포함하는지 여부를 잘 판단해야 합니다. ‘제2사분면’에서 만나려면 축 위에서 만나는 경우는 제외되므로, 등호가 포함되지 않습니다.
”
정점을 지나는 직선과 선분의 교점
“
218번 문제와 동일하게, 두 직선의 교점을 지나고 다른 직선에 평행한 직선의 y절편을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점 좌표를 연립방정식으로 구합니다.
2. 평행해야 할 직선의 기울기를 구합니다.
3. 1단계의 교점을 지나고 2단계의 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 구한 직선의 y절편(상수항)을 찾습니다.
주의할 점:
기본적인 개념들을 순서대로 정확하게 적용하는 능력을 묻는 문제입니다. 최종적으로 무엇을 묻는지(y절편) 확인하고 답해야 합니다.
”
정점을 지나는 직선과 사분면 교점
“
두 직선의 교점을 지나면서, 그 직선들이 x축과 만나 만드는 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 직선의 교점 C의 좌표를 구하고, 각 직선의 x절편 A, B의 좌표를 구합니다.
2. 구하려는 직선은 꼭짓점 C를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분해야 합니다.
3. 따라서 이 직선은 반드시 마주보는 변 AB의 중점을 지나야 합니다.
4. 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구합니다.
5. 두 점 C와 M을 지나는 직선의 방정식을 구하면 됩니다.
주의할 점:
삼각형의 넓이를 이등분하는 직선이 한 꼭짓점을 지난다는 사실을 파악하면, 대변의 중점을 찾아 두 점을 잇는 직선의 방정식을 구하는 문제로 단순화됩니다.
”
교점과 평행 조건을 이용한 y절편
“
두 직선의 교점을 지나고, 다른 직선에 수직인 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (교점 찾기) 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
2. (기울기 찾기) 수직이어야 할 대상 직선(x+3y-3=0)의 기울기를 구한 뒤, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾습니다.
3. (직선 완성) 1단계에서 구한 교점을 지나고, 2단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
218번 문제의 ‘평행’ 조건이 ‘수직’ 조건으로 바뀐 것 외에는 완전히 동일한 구조입니다. 평행과 수직의 기울기 관계를 명확히 구분해야 합니다.
”
두 직선 교점을 지나는 넓이 이등분선
“
두 직선의 교점을 지나고, 다른 직선에 평행한 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (교점 찾기) 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
2. (기울기 찾기) 평행해야 할 대상 직선(2x+y=10)의 기울기를 구합니다. 평행하므로 기울기는 같습니다.
3. (직선 완성) 1단계에서 구한 교점을 지나고, 2단계에서 구한 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
‘교점을 지난다’는 정보로 직선이 지나는 한 점을, ‘평행하다’는 정보로 직선의 기울기를 얻을 수 있습니다. 두 정보를 조합하여 직선을 완성하는 문제입니다.
”
두 직선 교점과 수직인 직선
“
두 직선의 교점을 지나고, 좌표축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 두 직선의 교점의 좌표를 연립방정식으로 구합니다.
2. 1단계에서 구한 교점과 점 (2,-5)를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
3. 구한 직선의 x절편과 y절편을 찾습니다.
4. 삼각형의 넓이 공식(1/2 * |x절편| * |y절편|)을 이용해 넓이를 구합니다.
주의할 점:
216번 문제와 거의 동일한 흐름의 문제입니다. 각 단계별 계산을 정확히 하는 것이 중요하며, 특히 절편을 구할 때 부호에 유의해야 합니다.
”
두 직선 교점과 평행한 직선
“
215번 문제와 동일하게 두 직선의 교점과 다른 한 점을 지나는 직선을 구한 뒤, 그 직선의 선분 길이를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 두 직선의 교점의 좌표를 연립방정식을 풀어 구합니다.
2. 1단계에서 구한 교점과 점 (2,-1)을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
3. 구한 직선의 x절편(점 A)과 y절편(점 B)을 각각 구합니다.
4. 두 점 A, B 사이의 거리를 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 계산합니다.
주의할 점:
선분 AB의 길이는 x절편과 y절편을 각각 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 빗변 길이와 같으므로, 피타고라스 정리를 이용해 빠르게 구할 수도 있습니다.
”
두 직선 교점과 축으로 둘러싸인 넓이
“
두 직선의 교점과 또 다른 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 정석적인 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1) 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 직접 구합니다. 그 후, 이 교점과 주어진 점 (-1,1)을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
2. (방법 2) ‘두 직선의 교점을 지나는 직선’의 공식, 즉 (직선1) + k(직선2) = 0 형태를 이용합니다. 이 식에 점 (-1,1)의 좌표를 대입하여 k값을 찾고, k값을 다시 대입하여 직선의 방정식을 완성합니다.
주의할 점:
두 가지 방법 모두 가능하지만, 교점의 좌표가 정수로 깔끔하게 나올 경우 방법 1이 더 직관적이고 빠를 수 있습니다.
”
두 직선 교점과 절편으로 선분 길이 구하기
