“
정삼각형의 높이를 이용해 한 변의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 정삼각형의 한 변의 길이를 a라고 하면, 높이 h는 (√3/2) * a 입니다.
2. 정삼각형의 높이는 꼭짓점 A에서 밑변 BC(직선 y=x-1)까지의 거리와 같습니다.
3. **점 A와 직선 사이의 거리**를 공식을 이용해 구합니다. 이 값이 바로 높이 h입니다.
4. 1단계의 관계식에 h값을 대입하여 한 변의 길이 a를 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 높이 공식을 정확히 알고 있어야 합니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 통해 높이를 먼저 구하는 것이 문제 해결의 순서입니다.
”
정삼각형의 높이를 이용한 넓이
“
직각삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 세 변의 길이를 먼저 구해야 합니다.
접근법:
1. 선분 AH의 길이는 **점 A와 주어진 직선 사이의 거리**와 같습니다. 이 값을 먼저 구합니다.
2. 문제에서 AP = 2AH 라는 관계를 주었으므로, 선분 AP의 길이를 구할 수 있습니다.
3. 삼각형 AHP는 각 H가 90도인 직각삼각형입니다.
4. 피타고라스 정리를 이용해 나머지 한 변 PH의 길이를 구합니다.
5. 삼각형 AHP의 넓이는 1/2 * AH * PH 로 계산합니다.
주의할 점:
점 P, H의 좌표를 직접 구하지 않고도, 점과 직선 사이의 거리 공식과 피타고라스 정리만으로 세 변의 길이를 모두 알아내어 넓이를 구할 수 있습니다.
”
정삼각형의 높이와 한 변의 길이
“
사다리꼴의 넓이를 구하는 문제입니다. 두 평행한 변을 밑변으로, 그리고 두 변 사이의 거리를 높이로 생각할 수 있으나, 이 문제에서는 각 점의 좌표를 구해 해결합니다.
접근법:
1. 점 O, A는 좌표가 주어졌습니다.
2. 점 C는 원점에서 직선에 내린 수선의 발, 점 B는 점 A에서 직선에 내린 수선의 발입니다.
3. 각각의 수선의 발 B, C의 좌표를 구합니다. (231번 문제의 과정과 동일)
4. 네 점 O, A, B, C의 좌표를 알았으므로, 사다리꼴의 넓이를 구합니다. (예: 전체 사각형에서 불필요한 삼각형 빼기 또는 신발끈 공식 활용)
주의할 점:
이 사다리꼴은 두 변(OC, AB)이 서로 수직이므로, 넓이 공식 (1/2 * (OC+AB) * BC)을 사용하기 위해 각 선분의 길이를 구하는 것이 더 효율적입니다.
”
점과 직선 거리로 삼각형 넓이 구하기
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두 점에서 한 직선에 내린 수선의 발 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (수선의 발 P 찾기) 원점 O에서 주어진 직선에 내린 수선의 발 P의 좌표를 구합니다. (원점을 지나고 주어진 직선에 수직인 직선과의 교점)
2. (수선의 발 Q 찾기) 점 A(2,0)에서 주어진 직선에 내린 수선의 발 Q의 좌표를 구합니다. (점 A를 지나고 주어진 직선에 수직인 직선과의 교점)
3. 두 점 P, Q의 좌표가 확정되었으므로, 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
계산 과정이 매우 긴 문제입니다. 수선의 발을 두 번 구해야 하므로 계산 실수가 없도록 각별히 주의해야 합니다. 다른 기하학적 풀이(사다리꼴 활용 등)도 가능하지만, 좌표를 직접 구하는 것이 정석입니다.
”
수선의 발 좌표로 사다리꼴 넓이 구하기
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삼각형의 무게중심을 지나고 특정 변에 평행한 직선과, 다른 한 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 G의 좌표를 구합니다.
2. 두 점 A, B를 지나는 직선 AB의 기울기를 구합니다.
3. 구하려는 직선 l은 AB와 평행하므로 기울기가 같습니다.
4. 점 G를 지나고 2단계에서 구한 기울기를 갖는 직선 l의 방정식을 구합니다.
5. 점 (4,3)과 직선 l 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
여러 개념(무게중심, 평행, 점과 직선 사이의 거리)이 순차적으로 연결된 문제입니다. 각 단계별로 필요한 정보를 정확히 계산하여 다음 단계로 넘어가야 합니다.
”
두 점에서 내린 수선의 발 사이 거리
“
한 점에서 직선까지의 최단 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A에서 직선 l 위의 점 P까지의 거리 AP가 최소가 되는 경우는, 선분 AP가 직선 l과 **수직**일 때입니다.
2. 따라서 문제에서 요구하는 최솟값은 **점 A와 직선 l 사이의 거리**와 같습니다.
3. 먼저 두 점(-2,0), (2,2)를 지나는 직선 l의 방정식을 구합니다.
4. 점 A(2,-3)와 3단계에서 구한 직선 l 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
‘점과 직선 위의 점 사이의 거리의 최솟값’은 ‘점과 직선 사이의 거리’와 같다는 기하학적 의미를 이해하는 것이 핵심입니다.
”
무게중심과 평행선 사이의 거리
“
원점과 선분의 수직이등분선 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (수직이등분선 구하기) 선분 AB의 수직이등분선의 방정식을 구합니다.
– 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구합니다.
– 직선 AB의 기울기를 구하고, 그것에 수직인 기울기를 찾습니다.
– 중점 M을 지나고 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 완성합니다.
2. (거리 구하기) 원점(0,0)과 1단계에서 구한 직선 사이의 거리를 **점과 직선 사이의 거리 공식**을 이용해 구합니다.
주의할 점:
수직이등분선의 방정식을 구하는 과정과 점과 직선 사이의 거리 공식을 적용하는 과정, 두 가지 기본기를 모두 정확하게 수행해야 합니다.
”
점과 직선 위의 점 사이 거리 최솟값
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정점을 지나는 직선의 성질에 대한 종합적인 이해를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 직선 l₂를 m에 대해 정리하여 정점의 좌표를 구합니다.
2. (보기 ㄴ) m=-1을 직선 l₂에 대입하여 방정식을 구하고, 직선 l₁과의 기울기 곱이 -1이 되는지 확인합니다.
3. (보기 ㄷ) 두 직선이 제2사분면에서 만나기 위한 기울기 m의 범위를 찾습니다. 이는 정점(l₂가 항상 지나는 점)과 l₁의 x, y절편을 경계로 하여 범위를 구하는 222번 문제와 동일합니다.
주의할 점:
정점을 지나는 직선의 활용법(좌표 찾기, 특정 조건 만족, 영역 통과)을 모두 물어보는 문제입니다. 각 보기에서 요구하는 바를 정확히 파악해야 합니다.
”
점과 수직이등분선 사이의 거리
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정점을 지나는 직선이 직사각형의 넓이를 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선의 정점을 찾습니다. (이 문제에서는 (4,-6))
2. 직선이 직사각형의 넓이를 이등분하려면, 반드시 직사각형의 대각선의 교점(무게중심)을 지나야 합니다.
3. 따라서 1단계에서 구한 정점 (4,-6)이 바로 직사각형 대각선의 교점입니다.
4. 대각선의 교점은 마주보는 두 꼭짓점(A와 C)의 중점과 같습니다. 중점 공식을 이용해 a, b값을 구합니다.
주의할 점:
정점을 지나는 직선과 도형의 넓이 이등분 문제가 결합된 유형입니다. 각 도형의 넓이를 이등분하는 점이 어디인지(삼각형: 대변의 중점, 직사각형: 대각선의 교점)를 명확히 알아야 합니다.
”
두 정점을 지나는 직선의 관계 판별
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정점을 지나는 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 문제입니다. 152번 문제와 동일한 유형입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선의 정점을 찾습니다. 이 정점이 삼각형의 꼭짓점 중 하나(A(2,1))임을 확인합니다.
2. 꼭짓점 A를 지나는 직선이 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하려면, 반드시 대변 BC의 중점 M을 지나야 합니다.
3. 두 점 B, C의 좌표를 이용해 중점 M의 좌표를 구합니다.
4. 직선이 중점 M을 지나야 하므로, M의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 m값을 구합니다.
주의할 점:
정점을 먼저 찾고, 그 정점이 삼각형의 꼭짓점인지 확인하는 것이 풀이의 첫 단계입니다. 만약 꼭짓점이 아니라면 넓이를 직접 계산해야 하는 복잡한 문제가 됩니다.
”
정점을 지나는 직사각형 넓이 이등분선
