“
주어진 직선에 평행하고, 특정 점에서의 거리가 주어진 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선과 평행하므로, 구하려는 직선의 기울기는 같습니다. 방정식의 x, y 계수 부분을 그대로 사용하고 상수항만 미지수로 설정합니다. (예: 3x-4y+k=0)
2. 점 (2,1)과 이 직선 사이의 거리가 1이라는 조건을 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 세웁니다.
3. k에 대한 절댓값 방정식을 풀어 가능한 k값을 모두 찾습니다.
4. ‘y절편이 양수’라는 조건에 맞는 k값을 선택하여 직선의 방정식을 완성하고, 최종적으로 y절편을 구합니다.
주의할 점:
평행한 직선의 방정식을 설정할 때, ax+by+k=0 과 같이 상수항만 미지수로 두면 계산이 편리합니다.
”
주어진 직선에 수직이고 거리가 주어진 직선
“
기하학적 관계와 점과 직선 사이의 거리를 종합적으로 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 B의 좌표를 (a, 0)으로 설정합니다.
2. 선분 BH의 길이는 8-a 입니다.
3. 선분 BI의 길이는 점 B(a,0)에서 직선 OA까지의 거리입니다. 직선 OA의 방정식을 구하고 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 BI를 a에 대한 식으로 표현합니다.
4. BH=BI 라는 조건으로 등식을 세워 a값을 구하면 점 B의 좌표가 확정됩니다.
5. 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
문제에 주어진 BH=BI라는 조건을 식으로 정확히 옮기는 것이 핵심입니다. 각 선분의 길이가 무엇을 의미하는지(좌표의 차, 점과 직선 사이의 거리)를 파악해야 합니다.
”
주어진 직선에 평행하고 거리가 주어진 직선
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특정 점을 지나고 기울기가 미지수인 직선과 원점 사이의 거리가 주어졌을 때, 기울기를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (1,3)을 지나고 기울기가 k인 직선의 방정식을 점-기울기 형태로 세우고, 일반형으로 정리합니다.
2. 원점 (0,0)과 1단계에서 구한 직선 사이의 거리를 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 이 거리가 √5와 같다고 등식을 세웁니다.
4. 양변을 제곱하여 k에 대한 이차방정식을 풀고, ‘양수 k’라는 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
분모에 루트와 미지수가 함께 들어가는 방정식이므로, 양변을 제곱하여 정리하는 과정에서 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
기하학적 관계와 점과 직선 거리
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정점을 지나는 직선의 개념과 점과 직선 사이의 거리 개념이 결합된 문제입니다.
접근법:
1. 먼저, 미지수 k를 포함한 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 정점 A의 좌표를 구합니다. (k에 대해 정리하여 항등식 풀이)
2. 이제 문제는 ‘점 A와 직선 2x-y+m=0 사이의 거리가 √5이다’ 라는 간단한 문제로 바뀝니다.
3. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 m에 대한 절댓값 방정식을 세우고, 가능한 모든 m값의 합을 구합니다.
주의할 점:
문제의 전반부(정점 찾기)와 후반부(거리 공식 이용)를 명확히 구분하여 단계적으로 해결해야 합니다.
”
원점과 특정 점을 지나는 직선의 거리
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한 점에서 두 직선에 이르는 거리가 같을 조건을 이용하는 문제입니다. 이는 각의 이등분선의 원리와 같습니다.
접근법:
1. 점 (3,2)에서 첫 번째 직선까지의 거리를 공식을 이용해 구합니다.
2. 점 (3,2)에서 두 번째 직선까지의 거리를 미지수 a를 포함한 식으로 구합니다.
3. 두 거리가 같다고 등식을 세웁니다. 이 식은 절댓값을 포함하게 됩니다.
4. 절댓값 방정식 |A|=|B|의 해는 A=B 또는 A=-B 이므로, 두 가지 경우를 모두 풀어 가능한 모든 a값을 찾고 곱을 구합니다.
주의할 점:
한 점에서 두 직선까지의 거리가 같다는 것은 그 점이 두 직선이 이루는 각의 이등분선 위에 있다는 것을 의미합니다.
”
정점과 직선 사이 거리 조건
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직선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이와, 원점과 직선 사이의 거리라는 두 가지 조건이 주어진 문제입니다.
접근법:
1. x절편 a, y절편 b인 직선이므로, 삼각형의 넓이는 1/2 * ab = 8 이라는 관계식을 얻습니다.
2. 원점 (0,0)과 직선 (bx+ay-ab=0) 사이의 거리가 4라는 조건을 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 세웁니다.
3. 1, 2단계에서 얻은 두 개의 식(ab=16, a²+b²=16)을 연립하여 a+b의 값을 구합니다. 곱셈 공식의 변형을 활용하면 편리합니다.
주의할 점:
넓이와 원점에서의 거리라는 두 기하학적 조건을 각각 대수적인 식으로 정확히 변환하고, 이를 연립하여 푸는 능력이 필요합니다.
”
한 점에서 두 직선까지 거리가 같을 조건
“
점과 직선 사이의 거리가 특정 값으로 주어졌을 때, 직선의 방정식에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (2, -1)과 직선 4x+3y+k=0 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 이 거리 값이 2와 같다고 등식을 세웁니다.
3. 분자에 절댓값이 포함된 방정식이 되며, 이 방정식을 풀어 가능한 모든 k값을 찾습니다.
4. 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
절댓값 방정식 |A|=B 의 해는 A=B 또는 A=-B 라는 점을 잊지 말아야 합니다. 따라서 k값은 일반적으로 두 개가 나옵니다.
”
절편과 원점 거리로 관계식 찾기
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무게중심 좌표와, 그 무게중심과 특정 직선 사이의 거리가 주어졌을 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점 O, A, B의 좌표를 이용해 무게중심 G의 좌표를 미지수 a, b를 포함한 식으로 나타냅니다. (문제에서는 G가 주어졌으므로, 이를 통해 꼭짓점 B의 좌표를 구합니다.)
2. 두 점 O, A를 지나는 직선 OA의 방정식을 구합니다.
3. 점 G(5,b)와 직선 OA 사이의 거리가 √5 라는 조건을 **점과 직선 사이의 거리 공식**을 이용해 식으로 세웁니다.
4. 이 방정식을 풀어 b값을 찾고, 최종적으로 a+b를 계산합니다.
주의할 점:
무게중심 좌표 공식을 먼저 활용하여 모든 점의 좌표를 확정한 뒤, 점과 직선 사이의 거리 공식을 적용하는 순서로 풀어야 합니다.
”
점과 직선 사이 거리 조건
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한 꼭짓점과 그 꼭짓점을 포함하지 않는 변(또는 그 연장선)이 주어졌을 때, 정사각형의 넓이를 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형의 한 변의 길이를 k라고 하면, 넓이는 k² 입니다.
2. 정사각형의 한 변(선분 AB 또는 CD)은 주어진 직선 l 위에 있습니다.
3. 꼭짓점 A(a,6)과 직선 l 사이의 거리는 정사각형의 높이와 같으며, 이는 **한 변의 길이 k**와 같습니다.
4. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k를 a에 대한 식으로 표현합니다.
5. 이 문제에서는 정사각형의 넓이가 주어졌으므로, 한 변의 길이를 알 수 있고, 이를 통해 a값을 찾습니다.
주의할 점:
정사각형의 한 꼭짓점에서 마주보는 변(을 포함하는 직선)까지의 거리가 바로 한 변의 길이가 된다는 기하학적 관계를 이용하는 것이 핵심입니다.
”
무게중심과 직선 사이의 거리
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234번 문제와 동일한 원리입니다. 정삼각형의 높이를 이용해 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 정삼각형의 높이 h를 구합니다. 높이는 꼭짓점 A와 직선(변 BC) 사이의 거리와 같습니다.
2. 정삼각형의 한 변의 길이를 a라고 할 때, 높이 h = (√3/2) * a 라는 관계를 이용해 한 변의 길이 a를 구합니다.
3. 정삼각형의 넓이 공식, 즉 (√3/4) * a² 에 a값을 대입하여 넓이를 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 높이 공식과 넓이 공식을 모두 알고 있어야 합니다. 높이를 먼저 구한 뒤, 그것을 이용해 변의 길이나 넓이를 구하는 흐름을 기억하세요.
”
꼭짓점과 직선 거리로 정사각형 넓이
