“
세 직선의 위치 관계(평행, 수직)를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선의 방정식을 모두 y=mx+b 형태로 변환하여 기울기를 명확하게 구합니다.
2. 각 직선들의 기울기를 서로 비교합니다.
– 기울기가 같은 직선은 평행합니다.
– 기울기의 곱이 -1인 두 직선은 수직입니다.
3. 이 관계를 바탕으로 보기의 설명 중 옳은 것을 찾습니다.
주의할 점:
일반형 방정식 ax+by+c=0 에서 평행 조건은 a:b의 비율이 같은 것, 수직 조건은 aa’+bb’=0 임을 이용하면 y=mx+b 형태로 변환하지 않고도 빠르게 판단할 수 있습니다.
”
좌표평면을 세 부분으로 나눌 조건
“
두 직선이 수직으로 만나는 교점이, 한 선분의 내분점이 되는 복합적인 문제입니다.
접근법:
1. 직선 AB는 주어진 직선과 수직이므로, 기울기의 곱이 -1이라는 조건에서 a, b의 관계식을 하나 얻습니다.
2. 점 C는 선분 AB의 1:2 내분점입니다. 내분점 공식을 이용해 C의 좌표를 a, b에 대한 식으로 표현합니다.
3. 점 C는 주어진 직선 위의 점이기도 하므로, 2단계에서 구한 C의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 두 번째 관계식을 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
수직 조건과 내분점 조건을 각각 식으로 정확하게 표현하고, 이를 연립방정식으로 풀어내는 능력이 필요합니다.
”
무게중심을 지나고 변에 수직인 직선
“
두 직선에 의해 좌표평면이 세 부분으로 나뉠 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 좌표평면이 두 직선에 의해 세 부분으로 나뉘는 경우는 오직 두 직선이 서로 평행할 때뿐입니다. (만나면 네 부분, 일치하면 두 부분으로 나뉩니다.)
2. 두 직선이 평행할 조건, 즉 기울기는 같고 y절편은 다르다는 조건을 식으로 표현합니다.
3. 일반형 방정식에서의 평행 조건(a/a’ = b/b’ ≠ c/c’)을 이용하여 미지수 a에 대한 방정식을 풉니다.
4. 일치하는 경우는 제외하고 평행하기만 한 a값을 찾습니다.
주의할 점:
평행 조건과 일치 조건을 명확히 구분해야 합니다. 문제에서 ‘좌표평면 분할’이라는 표현이 나오면 두 직선의 위치 관계(일치, 평행, 만남)를 떠올려야 합니다.
”
두 직선이 일치할 조건
“
삼각형의 무게중심을 지나고, 특정 변에 수직인 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 G의 좌표를 먼저 구합니다.
2. 직선 AB의 기울기를 구합니다.
3. 구하려는 직선은 AB에 수직이므로, 기울기는 AB 기울기의 음수의 역수가 됩니다.
4. 1단계에서 구한 무게중심 G를 지나고 3단계에서 구한 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 조건을 순서대로 적용하면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 무게중심 좌표와 기울기를 정확히 구하는 것이 관건입니다.
”
수직 교점 조건으로 미정계수 찾기
“
148번 문제와 동일하게, 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기를 미지수 a를 포함한 식으로 각각 나타냅니다.
2. 두 기울기가 같다고 등식을 세우면 a에 대한 이차방정식이 만들어집니다.
3. 이차방정식을 풀어 나온 해 중에서 ‘양수’라는 조건에 맞는 a값을 선택합니다.
주의할 점:
세 점의 좌표에 미지수가 흩어져 있어도 당황하지 말고, 기울기 공식을 정확히 적용하여 방정식을 세우는 것이 중요합니다.
”
삼각형을 이루지 않는 미지수 값
“
원점을 지나는 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 경우에 대한 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 한 꼭짓점(이 문제에서는 원점 O)을 지나는 직선이 그 삼각형의 넓이를 이등분하려면, 반드시 마주보는 변(대변)의 중점을 지나야 합니다.
2. 주어진 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 구합니다.
3. 두 점 A, B를 잇는 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구합니다.
4. 구하려는 직선 y=mx는 원점과 중점 M을 지나므로, 점 M의 좌표를 식에 대입하여 기울기 m을 구합니다.
주의할 점:
삼각형 넓이 이등분선의 가장 대표적인 성질입니다. 넓이를 직접 계산하는 것이 아니라, 중점을 지난다는 기하학적 성질을 이용해야 합니다.
”
원점을 지나는 넓이 이등분선
“
삼각형의 한 꼭짓점을 지나는 직선이 넓이를 이등분하는 문제입니다. 150번과 원리가 같습니다.
접근법:
1. 꼭짓점 B를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 대변 AC의 중점 M을 지나야 합니다.
2. 두 점 A, C의 좌표를 이용해 중점 M의 좌표를 구합니다.
3. 이제 이 직선은 꼭짓점 B와 중점 M을 지나는 것이 아니라, 문제에서 주어진 또 다른 점 (1, -2)를 지난다고 하였습니다. (문제 재해석 필요: 직선이 점 B와 중점 M을 지나는 직선인데, 이 직선 위에 (1,-2)가 있다는 의미가 아니라, 점 B를 지나는 넓이 이등분선, 즉 B와 M을 지나는 직선이 점 (1,-2)를 지난다는 의미로 해석해야 함. 하지만 해설을 보면 점 B를 지나는 것이 아니라, (1,-2)와 중점 M을 지나는 직선이 B를 지난다는 의미로 풀이됨. 문제 표현에 혼동이 있을 수 있으나 해설의 흐름을 따름)
4. 해설 기준: 선분 AC의 중점 M과 점 (1,-2)를 지나는 직선을 구하고, 이 직선 위에 점 B(3,a)가 있다고 하여 a값을 구함.
주의할 점:
문제의 표현이 다소 모호할 수 있습니다. ‘꼭짓점 B를 지나고 넓이를 이등분하는 직선’은 ‘직선 BM’을 의미한다는 것을 명확히 해야 합니다.
”
꼭짓점을 지나는 넓이 이등분선
“
주어진 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 문제입니다. 먼저 직선의 정점(항상 지나는 점)을 찾아야 합니다.
접근법:
1. 직선의 방정식을 미지수 m에 대하여 정리하여, m의 값에 관계없이 항상 지나는 정점을 찾습니다. 이 문제에서는 정점이 삼각형의 꼭짓점 A(3,2)가 됩니다.
2. 즉, 이 직선은 꼭짓점 A를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선입니다.
3. 따라서 이 직선은 반드시 **대변 BC의 중점 M**을 지나야 합니다.
4. 중점 M의 좌표를 구한 뒤, 이 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 m의 값을 구합니다.
주의할 점:
k, m 등 미지수를 포함한 직선의 방정식은 ‘k값에 관계없이 항상 지나는 점이 있는가?’를 먼저 확인하는 습관을 들이는 것이 매우 중요합니다.
”
정점을 지나는 넓이 이등분선
“
한 꼭짓점을 공유하는 두 삼각형의 넓이 비가 주어졌을 때, 직선의 방정식을 구하는 문제입니다. 넓이 비는 밑변의 내분비와 같습니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABD와 ADC는 꼭짓점 A를 공유하고 밑변이 한 직선 위에 있으므로 높이가 같습니다.
2. 따라서 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같습니다: BD : DC = 3 : 2.
3. 이는 점 D가 선분 BC를 3:2로 내분하는 점임을 의미합니다. 내분점 공식을 이용해 D의 좌표를 구합니다.
4. 이제 두 점 A와 D의 좌표를 모두 알았으므로, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하고 x절편을 찾습니다.
주의할 점:
넓이 비를 내분비로 해석하는 능력이 핵심입니다. 문제의 최종 질문이 점 D의 좌표가 아닌, 직선 AD의 x절편이라는 점에 유의해야 합니다.
”
넓이 비를 이용한 직선의 방정식
“
이차함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 원점을 지나는 직선이 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 이차함수의 꼭짓점 A와 x축과의 교점(원점 O, 점 B)의 좌표를 구합니다. 꼭짓점의 x좌표는 대칭축이므로, 이를 이용해 점 B의 좌표를 쉽게 찾을 수 있습니다.
2. 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하는 직선 y=mx는 꼭짓점 O를 지납니다.
3. 따라서 이 직선은 반드시 대변 AB의 중점 M을 지나야 합니다.
4. 중점 M의 좌표를 구한 뒤, 이 좌표를 y=mx에 대입하여 기울기 m을 구합니다.
주의할 점:
이차함수의 대칭성을 이용하여 x절편을 찾는 것이 계산을 간편하게 합니다. 150번 문제와 마찬가지로, 넓이 이등분선은 대변의 중점을 지난다는 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
이차함수와 축으로 생긴 넓이 이등분
