“
세 직선이 좌표평면을 6개의 부분으로 나눌 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선이 좌표평면을 6개로 나누는 경우는 (1) 세 직선 중 두 직선만 평행하거나, (2) 세 직선이 모두 한 점에서 만날 때 입니다.
2. 이는 ‘세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건’과 사실상 같습니다. (단, 세 직선이 모두 평행하면 4개로 나뉘므로 제외)
3. 173, 174번 문제와 동일한 방법으로 두 가지 경우에 해당하는 모든 a값을 찾아 합을 구합니다.
주의할 점:
좌표평면 분할 문제와 세 직선의 위치 관계 문제는 서로 표현만 다를 뿐, 같은 개념을 묻고 있다는 것을 이해하는 것이 중요합니다.
”
직각삼각형이 될 두 직선의 수직 조건
“
세 직선으로 둘러싸인 삼각형이 직각삼각형이 될 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 직각삼각형이 되려면 세 직선 중 **두 직선이 서로 수직**이어야 합니다.
2. 미지수가 없는 두 직선의 기울기를 먼저 확인하여, 이들이 수직인지 판단합니다.
3. **(경우 1)** 미지수가 포함된 직선이 첫 번째 직선과 수직일 때의 a값을 구합니다. (기울기의 곱 = -1)
4. **(경우 2)** 미지수가 포함된 직선이 두 번째 직선과 수직일 때의 a값을 구합니다.
5. 두 경우에서 나온 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
세 직선이 모두 한 점에서 만나거나 평행하면 삼각형 자체가 만들어지지 않으므로, 수직 조건을 만족하는 a값이 그런 경우는 아닌지 검토가 필요할 수 있습니다.
”
평행한 직선의 방정식 구하기
“
157, 158번 문제와 동일한 유형입니다. 두 직사각형의 넓이를 각각 이등분하는 직선을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 하나의 직선이 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하려면, 각 직사각형의 대각선의 교점을 모두 지나야 합니다.
2. 큰 직사각형의 대각선의 교점 좌표를 구합니다.
3. 작은 직사각형의 대각선의 교점 좌표를 구합니다.
4. 이 두 교점을 지나는 직선의 기울기 m을 구하면 됩니다.
주의할 점:
좌표가 음수를 포함하고 있으므로, 중점 좌표를 계산할 때 부호 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다.
”
계단형 도형의 넓이 이등분
“
특정 점을 지나고, 주어진 직선에 평행한 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 방정식을 y에 관해 정리하여 **기울기**를 찾습니다.
2. ‘평행하다’는 것은 기울기가 같다는 의미이므로, 1단계에서 구한 기울기를 그대로 사용합니다.
3. 이 기울기를 가지고 점 (3,1)을 지나는 직선의 방정식을 점-기울기 형태로 세웁니다.
4. 완성된 직선의 방정식에 점 (a, -2)를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
‘평행’ 조건을 ‘기울기가 같다’로 즉시 변환하여 적용하는 것이 핵심입니다. 평행과 수직 조건을 혼동하지 않도록 주의하세요.
”
선분의 내분점과 수직인 직선
“
원점을 지나는 직선이 복잡한 계단형 도형의 넓이를 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 전체 도형 OABCDE의 넓이를 구합니다. (두 개의 직사각형 넓이의 합)
2. 이등분된 넓이는 전체 넓이의 절반입니다.
3. 원점을 지나는 직선 y=mx가 어느 선분과 만나는지 대략적으로 판단합니다. (이 경우, 선분 CD)
4. 직선이 도형을 나누는 두 부분 중 계산하기 쉬운 한쪽(삼각형+사다리꼴)의 넓이를 m을 이용해 표현하고, 이 넓이가 전체의 절반이라는 등식을 세워 m값을 구합니다.
주의할 점:
전체 도형을 계산하기 편한 여러 개의 사각형으로 나누어 넓이를 구하는 것이 첫 단계입니다. 넓이를 식으로 표현하는 과정이 다소 복잡할 수 있습니다.
”
세 직선의 위치 관계 파악
“
선분의 내분점을 지나고, 그 선분을 포함하는 직선에 수직인 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B의 좌표를 이용해 3:2 내분점 C의 좌표를 구합니다.
2. 두 점 A, B를 지나는 직선 AB의 기울기를 구합니다.
3. 직선 AB에 수직인 직선의 기울기는, 원래 기울기와 곱해서 -1이 되는 값(음수의 역수)입니다.
4. 1단계에서 구한 점 C를 지나고 3단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
내분점, 기울기, 수직 조건, 직선의 방정식 등 여러 기본 개념이 순서대로 사용되는 종합 문제입니다. 각 단계별 계산을 정확히 해야 합니다.
”
수직 교점이 내분점이 될 조건
“
세 직선의 위치 관계(평행, 수직)를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선의 방정식을 모두 y=mx+b 형태로 변환하여 기울기를 명확하게 구합니다.
2. 각 직선들의 기울기를 서로 비교합니다.
– 기울기가 같은 직선은 평행합니다.
– 기울기의 곱이 -1인 두 직선은 수직입니다.
3. 이 관계를 바탕으로 보기의 설명 중 옳은 것을 찾습니다.
주의할 점:
일반형 방정식 ax+by+c=0 에서 평행 조건은 a:b의 비율이 같은 것, 수직 조건은 aa’+bb’=0 임을 이용하면 y=mx+b 형태로 변환하지 않고도 빠르게 판단할 수 있습니다.
”
좌표평면을 세 부분으로 나눌 조건
“
두 직선이 수직으로 만나는 교점이, 한 선분의 내분점이 되는 복합적인 문제입니다.
접근법:
1. 직선 AB는 주어진 직선과 수직이므로, 기울기의 곱이 -1이라는 조건에서 a, b의 관계식을 하나 얻습니다.
2. 점 C는 선분 AB의 1:2 내분점입니다. 내분점 공식을 이용해 C의 좌표를 a, b에 대한 식으로 표현합니다.
3. 점 C는 주어진 직선 위의 점이기도 하므로, 2단계에서 구한 C의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 두 번째 관계식을 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
수직 조건과 내분점 조건을 각각 식으로 정확하게 표현하고, 이를 연립방정식으로 풀어내는 능력이 필요합니다.
”
무게중심을 지나고 변에 수직인 직선
“
두 직선에 의해 좌표평면이 세 부분으로 나뉠 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 좌표평면이 두 직선에 의해 세 부분으로 나뉘는 경우는 오직 두 직선이 서로 평행할 때뿐입니다. (만나면 네 부분, 일치하면 두 부분으로 나뉩니다.)
2. 두 직선이 평행할 조건, 즉 기울기는 같고 y절편은 다르다는 조건을 식으로 표현합니다.
3. 일반형 방정식에서의 평행 조건(a/a’ = b/b’ ≠ c/c’)을 이용하여 미지수 a에 대한 방정식을 풉니다.
4. 일치하는 경우는 제외하고 평행하기만 한 a값을 찾습니다.
주의할 점:
평행 조건과 일치 조건을 명확히 구분해야 합니다. 문제에서 ‘좌표평면 분할’이라는 표현이 나오면 두 직선의 위치 관계(일치, 평행, 만남)를 떠올려야 합니다.
”
두 직선이 일치할 조건
“
삼각형의 무게중심을 지나고, 특정 변에 수직인 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 G의 좌표를 먼저 구합니다.
2. 직선 AB의 기울기를 구합니다.
3. 구하려는 직선은 AB에 수직이므로, 기울기는 AB 기울기의 음수의 역수가 됩니다.
4. 1단계에서 구한 무게중심 G를 지나고 3단계에서 구한 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 조건을 순서대로 적용하면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 무게중심 좌표와 기울기를 정확히 구하는 것이 관건입니다.
”
수직 교점 조건으로 미정계수 찾기
