“
특정 점을 지나고 주어진 직선에 수직인 직선이 원점을 지날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선에 수직인 직선의 기울기를 구합니다.
2. 이 기울기를 가지고 점 (6, a)를 지나는 직선의 방정식을 미지수 a를 포함한 상태로 세웁니다.
3. 이 직선이 원점 (0,0)을 지난다고 했으므로, 방정식에 x=0, y=0을 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
직선이 원점을 지난다는 것은 y절편이 0이라는 의미와 같습니다. 구한 직선의 상수항 부분이 0이 되도록 하는 a값을 찾는 것과 동일합니다.
”
선분의 수직이등분선 방정식
“
이등변삼각형의 성질과 수직 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 ABC가 AB=AC인 이등변삼각형이므로, 꼭짓점 A에서 밑변 BC에 내린 중선은 밑변을 수직이등분합니다.
2. 문제에서 선분 BC의 중점이 y축 위에 있다고 주어졌습니다. 이 중점을 M이라 합시다.
3. 따라서 직선 AM은 직선 BC(또는 직선 y=m(x-2))와 서로 수직입니다.
4. 직선 AM의 기울기와 직선 BC의 기울기(m)의 곱이 -1이라는 등식을 세워 m값을 구합니다.
주의할 점:
이등변삼각형의 꼭지각의 꼭짓점과 밑변의 중점을 이은 선분은 밑변에 수직이라는 핵심적인 기하학적 성질을 적용하는 것이 중요합니다.
”
두 직선의 수직 조건과 무게중심
“
두 점을 잇는 선분의 수직이등분선의 방정식을 구하는 문제입니다. 두 가지 핵심 조건을 사용합니다.
접근법:
1. **(수직 조건)** 선분 AB의 기울기를 구하고, 그것의 음수의 역수를 구해 수직이등분선의 기울기를 찾습니다. 주어진 직선의 기울기가 -1이므로, 이를 이용해 미지수 a값을 먼저 구할 수 있습니다.
2. **(이등분 조건)** 선분 AB의 중점의 좌표를 구합니다. 이 중점은 수직이등분선 위에 있어야 합니다.
3. 2단계에서 구한 중점의 좌표를 수직이등분선의 방정식에 대입하여 미지수 b값을 구합니다.
주의할 점:
‘수직’ 조건과 ‘이등분(중점)’ 조건 두 가지를 모두 사용해야 문제가 풀립니다. 어느 것을 먼저 사용해도 상관없지만, 이 문제에서는 수직 조건을 먼저 쓰는 것이 계산이 편리합니다.
”
수직이등분선 위의 중점 조건
“
두 직선이 서로 수직으로 만나는 조건을 이용하여, 삼각형의 무게중심을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선 AP와 BP가 점 P에서 수직으로 만나므로, 두 직선의 기울기의 곱은 -1 입니다.
2. 직선 AP의 기울기를 구하고, 직선 BP의 기울기를 미지수 n을 포함한 식으로 구합니다.
3. 두 기울기의 곱이 -1이라는 방정식을 풀어 n의 값을 확정하고, 점 B의 좌표를 구합니다.
4. 이제 세 꼭짓점 A, B, P의 좌표를 모두 알았으므로, 무게중심 공식을 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
수직 조건을 이용해 미지수를 먼저 해결하고, 그 결과를 바탕으로 무게중심을 구하는 단계적 풀이가 필요합니다.
”
접선과 법선을 이용한 삼각형 넓이
“
두 직선이 서로 평행하기 위한 조건을 묻는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선이 평행하려면 기울기는 같고, y절편은 달라야 합니다.
2. 두 직선의 기울기를 같다고 등식을 세워 미지수 k의 값을 구합니다.
3. 두 직선의 y절편이 다른지 확인하여, 구한 k값이 평행 조건에 맞는지 검토합니다. (이 문제에서는 y절편이 상수로 다르므로 항상 평행합니다.)
주의할 점:
y=mx+b 형태로 주어진 직선에서는 기울기와 y절편을 바로 비교할 수 있어 편리합니다. 평행과 일치의 차이를 항상 염두에 두어야 합니다.
”
세 직선이 모두 평행할 조건
“
세 직선에 의해 좌표평면이 네 부분으로 나뉠 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 좌표평면이 세 직선에 의해 네 부분으로 나뉘는 경우는 오직 세 직선이 모두 평행할 때뿐입니다.
2. 따라서 세 직선의 기울기가 모두 같아야 합니다.
3. 첫 번째 직선과 세 번째 직선의 기울기를 같다고 놓고 a값을 구합니다.
4. 두 번째 직선과 세 번째 직선의 기울기를 같다고 놓고 b값을 구합니다.
주의할 점:
세 직선의 위치 관계에 따른 평면 분할 개수를 기억해두면 좋습니다. (모두 평행: 4개, 둘만 평행: 6개, 한 점에서 만남: 6개, 삼각형 형성: 7개)
”
세 직선이 한 점에서 만날 조건
“
세 직선이 한 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선이 한 점에서 만나려면, 미지수가 없는 두 직선의 교점을 나머지 한 직선도 지나야 합니다.
2. 먼저 미지수 k가 없는 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
3. 2단계에서 구한 교점의 좌표를 미지수 k가 포함된 나머지 직선의 방정식에 대입합니다.
4. 대입하여 얻은 k에 대한 방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
‘세 직선이 한 점에서 만난다’는 표현을 ‘두 직선의 교점을 나머지 직선이 지난다’로 해석하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
세 직선의 교점이 두 개일 조건
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세 직선의 교점이 2개가 되도록 하는 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선의 교점이 2개가 생기는 경우는, 세 직선 중 두 직선만 서로 평행할 때입니다.
2. 미지수가 없는 두 직선의 기울기가 다르므로, 이 두 직선은 한 점에서 만납니다.
3. 따라서 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선 중 하나와 각각 평행한 경우를 나누어 생각해야 합니다.
4. (경우 1) ax+3y+4=0 이 3x+y+3=0 과 평행할 때의 a값을 구합니다.
5. (경우 2) ax+3y+4=0 이 4x-2y+1=0 과 평행할 때의 a값을 구합니다.
6. 두 경우에서 나온 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘교점이 2개’라는 조건을 ‘두 직선만 평행’으로 기하학적으로 해석하는 것이 중요합니다. 세 직선이 한 점에서 만나는 경우는 교점이 1개이므로 해당하지 않습니다.
”
세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건
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세 직선이 삼각형을 만들 수 없을 조건을 묻는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 크게 두 가지입니다.
(1) 세 직선 중 적어도 두 직선이 평행한 경우
(2) 세 직선이 모두 한 점에서 만나는 경우
2. (경우 1) 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 a값을 모두 구합니다.
3. (경우 2) 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구한 뒤, 그 교점을 미지수가 포함된 직선이 지나도록 하는 a값을 구합니다.
4. 2, 3단계에서 구한 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
삼각형이 만들어지지 않는 두 가지 핵심 조건(평행, 한 점에서 만남)을 모두 빠짐없이 고려해야 합니다.
”
삼각형을 이루지 않는 모든 k값의 합
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173번 문제와 완전히 동일한 유형입니다. 세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건을 모두 고려하여 가능한 모든 k값의 합을 구합니다.
접근법:
1. **(평행 조건)** 미지수가 포함된 직선이 나머지 두 직선과 각각 평행할 때의 k값을 구합니다.
2. **(한 점 조건)** 미지수가 없는 두 직선의 교점을 구한 뒤, 그 교점을 미지수가 포함된 직선의 방정식에 대입하여 k값을 구합니다.
3. 1, 2 단계에서 나온 모든 k값을 더합니다.
주의할 점:
문제를 풀기 전, 미지수가 없는 두 직선이 서로 평행한지 먼저 확인하는 것이 좋습니다. 만약 그렇다면 풀이가 더 간단해질 수 있습니다.
”
좌표평면을 여섯 부분으로 나눌 조건
