“
직선 계수의 부호 조건에 대한 진위(참/거짓)를 판별하는 문제입니다. 140번 유형의 종합판입니다.
접근법:
1. 각 보기(ㄱ,ㄴ,ㄷ)에서 주어진 부등식 조건을 분석합니다.
2. 각 조건으로부터 직선의 기울기(-a/b)와 y절편(-c/b)의 부호를 각각 추론합니다.
3. 추론한 기울기와 y절편을 바탕으로 직선의 개형을 그리고, 보기의 설명(몇 사분면을 지나는지)이 맞는지 확인합니다.
주의할 점:
주어진 조건이 2개일 때, 두 조건을 조합하여 필요한 정보(예: ㄱ에서 ac>0, bc
”
직선 계수 부호의 참/거짓 판별
“
두 직선이 직사각형의 넓이를 삼등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 전체 직사각형의 넓이를 먼저 구합니다. 삼등분된 각 부분의 넓이는 전체 넓이의 1/3이 됩니다.
2. 두 직선에 의해 나누어지는 세 부분 중, 양쪽 두 부분은 사다리꼴이 됩니다.
3. 각 사다리꼴의 넓이가 전체 넓이의 1/3이 된다는 식을 세웁니다. (사다리꼴 넓이 = 1/2 * (윗변+아랫변) * 높이)
4. 두 개의 등식을 이용해 두 직선의 y절편 a, b를 각각 구할 수 있습니다.
주의할 점:
두 직선의 기울기가 같으므로 평행하다는 점을 인지해야 합니다. 각 사다리꼴의 윗변과 아랫변의 길이는 직선의 방정식에 x좌표를 대입하여 구할 수 있습니다.
”
직사각형 넓이의 삼등분
“
세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하여 미지수를 찾는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 세 점이 한 직선 위에 있으려면, 어떤 두 점을 선택하여 기울기를 구해도 그 값은 항상 같아야 합니다.
2. **(방법 1: 기울기) 두 점 A, B를 이용해 기울기를 구하고, 두 점 B, C를 이용해 기울기를 구합니다. 이 두 기울기가 같다고 등식을 세워 a값을 구합니다.
3. **(방법 2: 직선의 방정식) 계산이 쉬운 두 점(A, B)을 지나는 직선의 방정식을 먼저 구합니다. 그 후, 나머지 점 C가 이 직선 위에 있다고 보고 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
어떤 두 점을 선택하여 기울기를 구하는 것이 계산이 가장 간단할지 미리 판단해보는 것이 좋습니다.
”
세 점이 한 직선 위에 있을 조건
“
원점을 지나는 직선이 사다리꼴의 넓이를 이등분하는 문제입니다. 삼각형이나 직사각형처럼 간단한 공식이 없어 직접 넓이를 계산해야 합니다.
접근법:
1. 먼저 전체 사다리꼴 OABC의 넓이를 구합니다. 이등분된 넓이는 그 절반입니다.
2. 원점을 지나는 직선 y=mx가 어느 변과 만나는지 판단합니다. (이 경우, 변 AB와 만남)
3. 직선 y=mx와 변 AB의 교점을 D라고 할 때, 삼각형 OAD의 넓이가 전체 넓이의 절반이 되어야 합니다.
4. 삼각형 OAD의 넓이를 밑변 OA와 높이(점 D의 y좌표)를 이용해 식으로 세워, 점 D의 y좌표를 먼저 구합니다.
5. 직선 AB의 방정식을 구한 뒤, y좌표를 대입하여 점 D의 x좌표까지 확정합니다.
6. 점 D의 좌표를 y=mx에 대입하여 기울기 m을 구합니다.
주의할 점:
직선이 어떤 변과 만나야 넓이가 이등분될지 대략적으로 판단하는 것이 중요합니다. 이등분된 도형의 넓이를 이용해 교점의 좌표를 역으로 찾아내는 것이 핵심입니다.
”
사다리꼴 넓이의 이등분
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144번 문제와 동일하게 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 점 A, B, C 중 어떤 두 점을 연결해도 기울기는 같아야 합니다.
2. 직선 AB의 기울기와 직선 AC의 기울기를 각각 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 두 기울기가 같다고 등식을 세우면 a에 대한 이차방정식이 만들어집니다. 이를 풀어 ‘양수 a’라는 조건에 맞는 값을 찾습니다.
4. 확정된 a값을 이용해 직선의 방정식을 구하고, 이 직선이 점 (1,k)를 지남을 이용해 k값을 구합니다.
주의할 점:
기울기가 같다는 식을 세울 때, 분수방정식 형태가 되므로 양변에 분모를 곱하는 과정에서 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
세 점의 공선 조건과 미지수 계산
“
직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45°라는 조건은 기울기가 tan(45°)=1임을 의미합니다. 세 점이 이 직선 위에 있을 조건을 이용합니다.
접근법:
1. 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있고, 그 직선의 기울기가 1임을 파악합니다.
2. 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기가 1이라고 식을 세워 미지수 a를 구합니다.
3. 두 점 A, C를 지나는 직선의 기울기가 1이라고 식을 세워 미지수 b를 구합니다.
4. 구한 a와 b를 더해 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
기울기가 먼저 주어진 특수한 경우입니다. ‘세 점이 한 직선 위에 있다’는 조건을 굳이 세 점 사이의 기울기 비교가 아닌, ‘각 두 점의 기울기가 모두 1이다’로 해석하여 풀면 더 간단합니다.
”
기울기가 주어진 세 점의 공선 조건
“
네 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다. 세 점일 때와 원리는 동일합니다.
접근법:
1. 네 점이 한 직선 위에 있으므로, 어떤 두 점을 골라 기울기를 구해도 모두 같아야 합니다.
2. 미지수가 없는 두 점을 선택하여 직선의 기울기를 먼저 확정하는 것이 유리합니다. (이 문제에서는 B, C를 이용하면 기울기를 바로 구할 수 있습니다.)
3. 직선 AB의 기울기가 확정된 기울기와 같다고 놓고 a값을 구합니다.
4. 직선 AD의 기울기가 확정된 기울기와 같다고 놓고 b값을 구합니다.
주의할 점:
계산이 가장 간단한 두 점을 먼저 찾아 기준 기울기를 설정하는 것이 효율적인 풀이의 시작입니다.
”
네 점이 한 직선 위에 있을 조건
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세 점이 삼각형을 이루지 않을 조건을 묻는 문제입니다. 이는 곧 세 점이 한 직선 위에 있다는 말과 같습니다.
접근법:
1. ‘삼각형을 이루지 않는다’는 것은 ‘세 점이 일직선상에 존재한다’는 의미로 해석합니다.
2. 144번 문제와 동일하게, 두 점 AB 사이의 기울기와 두 점 BC 사이의 기울기가 같다고 등식을 세웁니다.
3. 이 등식을 풀어 미지수 k의 값을 구합니다.
주의할 점:
문제의 표현이 다르지만, 기하학적 의미는 ‘세 점의 공선 조건’과 동일함을 파악하는 것이 중요합니다. (단, 세 점 중 두 점이 일치하는 경우도 삼각형을 이루지 않지만, 이 문제에서는 서로 다른 세 점이라 가정합니다.)
”
세 점이 삼각형을 이루지 않을 조건
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148번 문제와 동일하게, 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기를 미지수 a를 포함한 식으로 각각 나타냅니다.
2. 두 기울기가 같다고 등식을 세우면 a에 대한 이차방정식이 만들어집니다.
3. 이차방정식을 풀어 나온 해 중에서 ‘양수’라는 조건에 맞는 a값을 선택합니다.
주의할 점:
세 점의 좌표에 미지수가 흩어져 있어도 당황하지 말고, 기울기 공식을 정확히 적용하여 방정식을 세우는 것이 중요합니다.
”
삼각형을 이루지 않는 미지수 값
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원점을 지나는 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 경우에 대한 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 한 꼭짓점(이 문제에서는 원점 O)을 지나는 직선이 그 삼각형의 넓이를 이등분하려면, 반드시 마주보는 변(대변)의 중점을 지나야 합니다.
2. 주어진 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 구합니다.
3. 두 점 A, B를 잇는 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구합니다.
4. 구하려는 직선 y=mx는 원점과 중점 M을 지나므로, 점 M의 좌표를 식에 대입하여 기울기 m을 구합니다.
주의할 점:
삼각형 넓이 이등분선의 가장 대표적인 성질입니다. 넓이를 직접 계산하는 것이 아니라, 중점을 지난다는 기하학적 성질을 이용해야 합니다.
”
원점을 지나는 넓이 이등분선
