“
377번 문제와 동일하게, 두 원의 교점과 다른 한 점을 지나는 원의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. **(원1) + k(원2) = 0** 형태의 식을 세웁니다.
2. 이 식이 점 (-3,-3)을 지나므로, 좌표를 대입하여 k값을 구합니다.
3. 구한 k값을 다시 식에 대입하고 정리하여 최종 원의 방정식을 일반형으로 나타냅니다.
4. 계수 A, B, C를 찾고 문제에서 요구하는 값을 계산합니다.
주의할 점:
각 원의 방정식을 일반형(모든 항을 좌변으로 넘긴 형태)으로 만든 뒤에 (원1) + k(원2) = 0 식을 세워야 계산이 편리합니다.
”
두 원의 교점과 한 점을 지나는 원의 계수
“
일반적인 삼각형의 내심을 찾고, 원점과의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점입니다. 계산이 복잡하므로, 다른 방법을 생각합니다.
2. 내심의 좌표를 (a,b), 내접원의 반지름을 r이라 하면, 내심에서 세 변(세 직선)까지의 거리는 모두 r로 같습니다.
3. 세 변을 포함하는 직선의 방정식을 각각 구합니다.
4. 점 (a,b)에서 세 직선까지의 거리가 모두 같다는 연립방정식을 풀어 a,b를 구합니다.
5. (더 효율적인 방법) 삼각형의 넓이 공식을 활용합니다. 넓이 S = 1/2 * r * (세 변의 길이의 합)
주의할 점:
일반 삼각형의 내심 좌표를 구하는 것은 계산이 매우 복잡합니다. 각의 이등분선 방정식을 두 개 구해서 연립하는 것이 정석적인 방법 중 하나입니다.
”
세 직선 교점으로 만든 삼각형의 내심
“
두 원의 교점과 다른 한 점을 지나는 원의 넓이가 주어졌을 때, 원래 원의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 교점과 점 (1,0)을 지나는 새로운 원의 방정식을 (원1) + k(원2) = 0 을 이용해 세웁니다. 점 (1,0)을 대입하면 k값을 구할 수 있습니다.
2. k값을 대입하여 새로운 원의 방정식을 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 이 방정식을 표준형으로 변환하여 반지름의 제곱(R²)을 a에 대한 식으로 구합니다.
4. 이 원의 넓이가 25π 이므로, R²=25 라는 등식을 세워 a값을 구합니다.
주의할 점:
377번 문제의 역순으로 진행되는 문제입니다. 넓이를 이용해 반지름을 역으로 추적하여 미지수를 구하는 흐름입니다.
”
교점을 지나는 원의 넓이가 주어질 때
“
x축과 y축에 동시에 접하는 원이 특정 점을 지날 때, 두 원의 중심 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (1,2)는 제1사분면에 있으므로, 구하는 원 또한 제1사분면에서 축에 접합니다.
2. 원의 중심은 (r, r) 이고 반지름은 r 입니다. 원의 방정식은 (x-r)²+(y-r)²=r² 입니다.
3. 이 원이 점 (1,2)를 지나므로, 좌표를 대입하면 r에 대한 이차방정식이 만들어집니다.
4. 이차방정식을 풀면 두 개의 해 r₁, r₂가 나오는데, 이는 조건을 만족하는 원이 두 개임을 의미합니다.
5. 두 원의 중심은 각각 (r₁, r₁), (r₂, r₂) 입니다. 이 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
주어진 점의 위치를 통해 원의 중심이 어느 사분면에 있는지 먼저 파악해야 중심 좌표를 올바르게 설정할 수 있습니다.
”
x축, y축에 동시에 접하는 원 (1사분면)
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두 원의 교점과 다른 두 점을 지나는 원의 방정식을 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을 (원1) + k(원2) = 0 으로 설정합니다. 이 식은 미지수 a와 k를 포함하게 됩니다.
2. 이 원이 두 점 (0,4)와 (4,2)를 지나므로, 각 점의 좌표를 대입하여 a와 k에 대한 두 개의 연립방정식을 세웁니다.
3. 이 연립방정식을 풀어 a와 k값을 모두 구합니다.
4. 구한 a, k값을 이용해 원의 방정식을 완성하고 넓이를 구해 b를 찾은 뒤, 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
미지수가 두 개(a,k)이고, 대입할 점도 두 개가 주어져서 복잡한 연립방정식을 풀어야 하는 문제입니다. 침착한 계산이 요구됩니다.
”
두 원의 교점과 다른 두 점을 지나는 원
“
주어진 원이 x축과 y축에 동시에 접할 조건을 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 미지수를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 원이 x축과 y축에 동시에 접하려면, |중심의 x좌표| = |중심의 y좌표| = 반지름의 길이 라는 세 가지 조건이 모두 성립해야 합니다.
3. 이 관계를 이용해 연립방정식을 세워 미지수 a, b 값을 구합니다. (a>0 이라는 조건 활용)
주의할 점:
세 값이 모두 같다는 조건(|x좌표|=|y좌표|=r)을 정확하게 적용하는 것이 핵심입니다. 이 중 두 개만 같다고 풀면 오류가 생길 수 있습니다.
”
x축, y축에 동시에 접할 조건
“
x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 직선 위에 있을 때의 원의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 제4사분면에 있고 x,y축에 동시에 접하므로, 중심 좌표를 (r, -r) (r>0) 로 설정할 수 있습니다.
2. 이 중심이 직선 2x+y=4 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 반지름 r의 값을 구합니다.
3. 반지름과 중심 좌표가 모두 확정되었으므로, 원의 방정식을 완성하고 일반형으로 변환하여 계수를 비교합니다.
주의할 점:
중심이 어느 사분면에 있는지에 따라 중심 좌표 설정( (r,r), (-r,r), (-r,-r), (r,-r) )이 달라진다는 점을 명확히 인지해야 합니다.
”
x축, y축 동시 접촉과 중심이 직선 위
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x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 직선 위에 있을 조건을 만족하는 두 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 반드시 직선 y=x 또는 y=-x 위에 있습니다.
2. (경우 1) 원의 중심이 y=x 위에 있을 때: 중심을 (r,r)로 두고, 이 점이 주어진 직선 2x+y-3=0 위에 있다고 하여 r값을 구합니다.
3. (경우 2) 원의 중심이 y=-x 위에 있을 때: 중심을 (r,-r)로 두고, 이 점이 주어진 직선 위에 있다고 하여 r값을 구합니다.
4. 두 경우에서 나온 두 원의 반지름을 이용해 각각의 둘레 길이를 구하고 합합니다.
주의할 점:
x,y축 동시 접촉 원의 중심은 y=x 또는 y=-x 위에 있다는 핵심 성질을 이용하면, 문제를 두 가지 간단한 경우로 나누어 풀 수 있습니다.
”
x축, y축 동시 접촉 원의 둘레의 합
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x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 곡선 위에 있을 때, 모든 원의 반지름의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. x,y축에 동시에 접하는 원의 중심은 y=x 또는 y=-x 위에 있습니다.
2. (경우 1) 중심이 y=x 위에 있을 때: 중심 (r,r)이 곡선 y=x²-12 위에 있다고 보고, 두 식을 연립하여 r에 대한 이차방정식을 풀어 가능한 모든 반지름을 구합니다.
3. (경우 2) 중심이 y=-x 위에 있을 때: 중심 (r,-r) 또는 (-r,r)이 곡선 위에 있다고 보고, 연립하여 가능한 모든 반지름을 구합니다.
4. 두 경우에서 나온 모든 양수 반지름의 값들을 더합니다.
주의할 점:
곡선과 두 직선(y=x, y=-x)의 교점을 찾는 문제로 귀결됩니다. 각 교점의 좌표가 원의 중심이 되고, 그 좌표의 절댓값이 반지름이 됩니다.
”
x축, y축 동시 접촉과 중심이 곡선 위
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x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 곡선 위에 있는, 368번 문제와 유사한 유형입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 제2사분면에 있고 x,y축에 동시에 접하므로, 중심 좌표를 (-r, r) (r>0) 로 설정할 수 있습니다.
2. 이 중심이 곡선 y=x²-x-1 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 r에 대한 이차방정식을 풉니다.
3. 양수 r값을 찾아 원의 중심과 반지름을 확정합니다.
4. 완성된 원의 방정식을 일반형으로 변환하여 계수 a,b,c를 찾고 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
중심이 위치한 사분면에 따라 중심 좌표와 반지름 사이의 관계가 어떻게 설정되는지 정확히 아는 것이 중요합니다. (2사분면: 중심 (-r,r), 반지름 r)
”
x축, y축 동시 접촉과 중심이 2사분면
