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두 원의 공통현의 길이를 구하는 대표적인 문제입니다.
접근법:
1. (공통현 방정식) 먼저 두 원의 방정식을 빼서 공통현(직선 PQ)의 방정식을 구합니다.
2. (한 원 선택) 두 원 중 계산이 더 간단한 원을 하나 선택하여 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
3. (점과 직선 사이 거리) 선택한 원의 중심 C에서 공통현 직선까지의 거리 d를 구합니다.
4. (피타고라스 정리) 원의 중심, 현의 중점, 현의 한 끝점은 직각삼각형을 이룹니다. **(현의 길이/2)² + d² = r²** 관계를 이용해 현의 길이를 구합니다.
주의할 점:
공통현의 길이를 직접 구하는 공식은 없습니다. 반드시 (1)공통현 방정식 구하기 (2)중심과 현 사이 거리 구하기 (3)피타고라스 정리 적용하기, 3단계를 거쳐야 합니다.
”
두 원의 공통현의 길이 구하기
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원과 직선이 만나서 생기는 활꼴의 넓이를 구하는 과정을 빈칸 추론으로 제시한 문제입니다.
접근법:
1. 활꼴의 넓이는 **(부채꼴의 넓이) – (삼각형의 넓이)** 로 구합니다.
2. (가), (나): 먼저 삼각형 OAB의 넓이를 구해야 합니다. 이를 위해 밑변 AB의 길이와 높이 OH가 필요합니다. OH는 원점과 직선 사이의 거리이므로 (가)를 채울 수 있습니다. 피타고라스 정리로 AH를 구하면 AB 길이를 알 수 있고, (나)를 채울 수 있습니다.
3. (다): 부채꼴 OAB의 넓이를 구하려면 중심각의 크기가 필요합니다. 삼각형 OAH가 특수각을 갖는 직각삼각형임을 이용하여 중심각을 구하고, 부채꼴의 넓이를 계산하여 (다)를 채웁니다.
주의할 점:
활꼴의 넓이를 구하는 정석적인 과정을 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. 점과 직선 사이의 거리, 피타고라스 정리, 부채꼴 넓이 공식 등 여러 개념이 사용됩니다.
”
원과 직선으로 만들어진 활꼴의 넓이
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두 원의 공통현의 중점의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 공통현의 중점은 (1)공통현(직선) 위에 있고, (2)두 원의 중심을 잇는 직선 위에도 있습니다.
2. 따라서 두 원의 공통현의 방정식을 구합니다.
3. 두 원의 중심 좌표를 각각 구하고, 이 두 중심을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 2단계와 3단계에서 구한 두 직선의 방정식을 연립하여 교점을 찾으면, 그 점이 바로 공통현의 중점입니다.
주의할 점:
공통현의 중점이 두 원의 중심을 잇는 선분 위에 있다는 기하학적 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
두 원의 공통현의 중점 좌표
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원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 길이를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
2. 원 밖의 점 A와 원의 중심 C를 잇는 선분 AC의 길이를 구합니다. 이 선분이 직각삼각형의 빗변이 됩니다.
3. 접점 P, 중심 C, 원 밖의 점 A는 직각삼각형을 이룹니다. (각 C P A = 90°)
4. **피타고라스 정리 (AP² + CP² = AC²)** 를 이용해 접선의 길이 AP를 구합니다.
주의할 점:
(원 밖의 점-중심 거리)² = (반지름)² + (접선 길이)² 라는 관계를 명확히 인지하고 있어야 합니다.
”
원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이
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x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 직선 위에 있을 조건을 만족하는 두 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 반드시 직선 y=x 또는 y=-x 위에 있습니다.
2. (경우 1) 원의 중심이 y=x 위에 있을 때: 중심을 (r,r)로 두고, 이 점이 주어진 직선 2x+y-3=0 위에 있다고 하여 r값을 구합니다.
3. (경우 2) 원의 중심이 y=-x 위에 있을 때: 중심을 (r,-r)로 두고, 이 점이 주어진 직선 위에 있다고 하여 r값을 구합니다.
4. 두 경우에서 나온 두 원의 반지름을 이용해 각각의 둘레 길이를 구하고 합합니다.
주의할 점:
x,y축 동시 접촉 원의 중심은 y=x 또는 y=-x 위에 있다는 핵심 성질을 이용하면, 문제를 두 가지 간단한 경우로 나누어 풀 수 있습니다.
”
x축, y축 동시 접촉 원의 둘레의 합
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x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 곡선 위에 있을 때, 모든 원의 반지름의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. x,y축에 동시에 접하는 원의 중심은 y=x 또는 y=-x 위에 있습니다.
2. (경우 1) 중심이 y=x 위에 있을 때: 중심 (r,r)이 곡선 y=x²-12 위에 있다고 보고, 두 식을 연립하여 r에 대한 이차방정식을 풀어 가능한 모든 반지름을 구합니다.
3. (경우 2) 중심이 y=-x 위에 있을 때: 중심 (r,-r) 또는 (-r,r)이 곡선 위에 있다고 보고, 연립하여 가능한 모든 반지름을 구합니다.
4. 두 경우에서 나온 모든 양수 반지름의 값들을 더합니다.
주의할 점:
곡선과 두 직선(y=x, y=-x)의 교점을 찾는 문제로 귀결됩니다. 각 교점의 좌표가 원의 중심이 되고, 그 좌표의 절댓값이 반지름이 됩니다.
”
x축, y축 동시 접촉과 중심이 곡선 위
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x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 곡선 위에 있는, 368번 문제와 유사한 유형입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 제2사분면에 있고 x,y축에 동시에 접하므로, 중심 좌표를 (-r, r) (r>0) 로 설정할 수 있습니다.
2. 이 중심이 곡선 y=x²-x-1 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 r에 대한 이차방정식을 풉니다.
3. 양수 r값을 찾아 원의 중심과 반지름을 확정합니다.
4. 완성된 원의 방정식을 일반형으로 변환하여 계수 a,b,c를 찾고 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
중심이 위치한 사분면에 따라 중심 좌표와 반지름 사이의 관계가 어떻게 설정되는지 정확히 아는 것이 중요합니다. (2사분면: 중심 (-r,r), 반지름 r)
”
x축, y축 동시 접촉과 중심이 2사분면
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두 원의 교점을 지나는 직선(공통현의 방정식)이 특정 점을 지날 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은, 두 원의 방정식을 각각 일반형으로 정리한 뒤 **한쪽 식에서 다른 쪽 식을 빼서** 구합니다. (x², y² 항이 소거됨)
2. 이렇게 구한 직선의 방정식은 미지수 a를 포함하게 됩니다.
3. 이 직선이 점 (1,2)를 지난다고 하였으므로, 좌표를 대입하여 a에 대한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
공통현의 방정식을 구하는 가장 간단한 방법은 ‘두 원의 방정식을 뺀다’는 것입니다. 이 방법을 반드시 기억해야 합니다.
”
두 원의 교점을 지나는 직선 (공통현)
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두 원의 공통현이 다른 직선과 평행할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 방정식을 빼서 공통현의 방정식을 미지수 a를 포함한 식으로 구합니다.
2. 이 공통현과 직선 y=x+3이 평행하므로, 두 직선의 기울기가 같다고 등식을 세웁니다.
3. 공통현의 방정식을 y에 관해 정리하여 기울기를 구하고, 이 기울기가 1(y=x+3의 기울기)과 같다고 놓아 a값을 구합니다.
주의할 점:
370번 문제와 마찬가지로 공통현의 방정식을 구하는 것이 첫 단계이며, 이후 직선의 평행 조건을 적용하는 흐름으로 이어집니다.
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공통현이 다른 직선과 평행할 조건
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두 원의 공통현이 다른 직선과 수직일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 방정식을 각각 일반형으로 전개합니다.
2. 한 방정식에서 다른 방정식을 빼서 공통현의 방정식을 구합니다.
3. 이 공통현과 직선 x-3y=4가 수직이므로, 두 직선의 기울기의 곱이 -1이 되어야 합니다.
4. 각 직선의 기울기를 구해 곱이 -1이라는 등식을 세워 미지수 a값을 찾습니다.
주의할 점:
371번의 ‘평행’ 조건이 ‘수직’ 조건으로 바뀐 것 외에는 완전히 동일한 구조입니다. 두 위치 관계의 조건을 명확히 구분해야 합니다.
”
공통현이 다른 직선과 수직일 조건
