고등수학개념사전 261로그함수의 성질

개념 261: 로그 함수의 성질

로그 함수 \( y = \log_a x \) ( \( a > 0, a \neq 1 \) )의 성질은 다음과 같습니다.

1. 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합입니다.
2. \( a > 1 \) 일 때, \( x \) 의 값이 증가하면 \( y \) 의 값도 증가합니다.
3. \( 0 < a < 1 \) 일 때, \( x \) 의 값이 증가하면 \( y \) 의 값은 감소합니다.
4. 일대일 함수입니다.
5. 그래프는 점 \( (1, 0) \) 을 지나고, \( y \)-축을 점근선으로 갖습니다.

개념 살펴보기

아래의 그래프에서 로그 함수 \( y = \log_2 x \) 와 \( y = \log_{1/2} x \) 에 대해 다음을 알 수 있습니다.

함수	\( y = \log_2 x \)	\( y = \log_{1/2} x \)
정의역	양의 실수 전체의 집합	양의 실수 전체의 집합
치역	실수 전체의 집합	실수 전체의 집합
증가·감소	\( x_1 < x_2 \) 이면 \( \log_2 x_1 < \log_2 x_2 \) 즉, \( x \) 값이 증가하면 \( y \) 값도 증가한다.	\( x_1 < x_2 \) 이면 \( \log_{1/2} x_1 > \log_{1/2} x_2 \) 즉, \( x \) 값이 증가하면 \( y \) 값은 감소한다.
일대일 함수	\( x_1 \neq x_2 \) 이면 \( \log_2 x_1 \neq \log_2 x_2 \) 즉, 일대일 함수이다.	\( x_1 \neq x_2 \) 이면 \( \log_{1/2} x_1 \neq \log_{1/2} x_2 \) 즉, 일대일 함수이다.
그래프가 초과과 만나는 점의 좌표	\( (1,0) \)	\( (1,0) \)
그래프의 점근선	\( y \)-축	\( y \)-축