개념 261: 로그 함수의 성질
로그 함수 \( y = \log_a x \) ( \( a > 0, a \neq 1 \) )의 성질은 다음과 같습니다.
- 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합입니다.
- \( a > 1 \) 일 때, \( x \) 의 값이 증가하면 \( y \) 의 값도 증가합니다.
- \( 0 < a < 1 \) 일 때, \( x \) 의 값이 증가하면 \( y \) 의 값은 감소합니다.
- 일대일 함수입니다.
- 그래프는 점 \( (1, 0) \) 을 지나고, \( y \)-축을 점근선으로 갖습니다.
개념 살펴보기
아래의 그래프에서 로그 함수 \( y = \log_2 x \) 와 \( y = \log_{1/2} x \) 에 대해 다음을 알 수 있습니다.
함수 | \( y = \log_2 x \) | \( y = \log_{1/2} x \) |
---|---|---|
정의역 | 양의 실수 전체의 집합 | 양의 실수 전체의 집합 |
치역 | 실수 전체의 집합 | 실수 전체의 집합 |
증가·감소 | \( x_1 < x_2 \) 이면 \( \log_2 x_1 < \log_2 x_2 \) 즉, \( x \) 값이 증가하면 \( y \) 값도 증가한다. |
\( x_1 < x_2 \) 이면 \( \log_{1/2} x_1 > \log_{1/2} x_2 \) 즉, \( x \) 값이 증가하면 \( y \) 값은 감소한다. |
일대일 함수 | \( x_1 \neq x_2 \) 이면 \( \log_2 x_1 \neq \log_2 x_2 \) 즉, 일대일 함수이다. |
\( x_1 \neq x_2 \) 이면 \( \log_{1/2} x_1 \neq \log_{1/2} x_2 \) 즉, 일대일 함수이다. |
그래프가 초과과 만나는 점의 좌표 | \( (1,0) \) | \( (1,0) \) |
그래프의 점근선 | \( y \)-축 | \( y \)-축 |