개념 241: 지수법칙 – 지수가 유리수일 때

\( a > 0 \), \( b > 0 \)이고 \( p, q \)가 유리수일 때, 다음의 지수법칙이 성립해요.

• \( a^p \times a^q = a^{p+q} \)
• \( \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \)
• \( (a^p)^q = a^{pq} \)
• \( (ab)^q = a^q b^q \)
• \( \left( \frac{a}{b} \right)^q = \frac{a^q}{b^q} \)

개념 살펴보기

지수가 유리수일 때도 지수법칙이 성립하는지 확인해볼게요. \( a \neq 0 \)이고 \( m, n \)이 정수일 때 지수법칙

\[ a^m \times a^n = a^{m+n} \]

가 성립하는 것을 알고 있죠. 이제 \( a > 0 \)이고 \( p, q \)가 유리수일 때 지수법칙을 살펴볼게요.

\( p = \frac{m}{n}, q = \frac{r}{s} \)라고 하면,

\[ a^p \times a^q = a^{m/n} \times a^{r/s} = a^{m/n + r/s} \]

따라서 위의 법칙이 성립한답니다!

개념 확인 문제

다음 식의 값을 구해보세요.

1. \( 256^{0.25} \)
2. \( \sqrt{3} \times 3^{3/2} \div \sqrt{3} \)
3. \( (\sqrt[3]{2} \cdot 3)^{6} \)

풀이

1. \( 256^{0.25} = 2^8^{1/4} = 2^2 = 4 \)
2. \( \sqrt{3} \times 3^{3/2} \div \sqrt{3} = 3^{1/2} \times 3^{3/2} \div 3^{1/2} = 3^{3/2} = 3 \)
3. \( (\sqrt[3]{2} \cdot 3)^{6} = (2^{1/3} \times 3)^6 = 2^{6/3} \times 3^6 = 2^2 \times 3^6 = 108 \)