로그함수
지수함수 \( y = a^x \) \((a > 0, a \neq 1)\)의 역함수는
\( y = \log_a x \) \((a > 0, a \neq 1)\) 입니다.
이 함수는 로그함수라고 합니다.
개념 살펴보기
지수함수 \( y = a^x \) \((a > 0, a \neq 1)\) 는 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로 일대일 대응이므로 역함수가 존재합니다.
따라서 지수함수의 역함수를 구하는 과정을 살펴보겠습니다.
\( y = a^x \) 에서 양변의 변수 위치를 바꾸어 보면,
\( x = \log_a y \) 로 나타낼 수 있습니다.
이를 다시 \( y \) 에 대해 정리하면,
\( y = \log_a x \) 가 됩니다.
개념 확인 문제
다음 함수의 역함수를 구하세요.
- \( y = 4^x \)
- \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \)
풀이
두 함수 \( y = 4^x \), \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \) 는 모두 실수 전체에서 양의 실수 전체로의 일대일 대응이므로 역함수를 구할 수 있습니다.
(1) \( y = 4^x \) 에서 로그의 정의를 이용하면,
\( x = \log_4 y \) 가 됩니다.
이를 다시 \( y \) 에 대해 정리하면,
\( y = \log_4 x \) 입니다.
(2) \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \) 에서 로그의 정의를 이용하면,
\( x = \log_{1/3} y \) 가 됩니다.
이를 다시 \( y \) 에 대해 정리하면,
\( y = \log_{1/3} x \) 입니다.
정답:
- \( y = \log_4 x \)
- \( y = \log_{1/3} x \)
Remark
로그 함수 \( y = \log_a x \) 는 정의역이 \( x > 0 \) 인 경우에만 존재합니다.