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고등수학개념사전 258로그부등식

지수부등식

지수부등식

3x>27, 2x14x, 9x23x3<0 과 같이 지수에 미지수가 있는 부등식을 지수부등식이라고 합니다.

지수부등식의 풀이

(1) 밑을 같게 할 수 있는 경우

주어진 부등식을 af(x)<ag(x) 꼴로 변형한 후 다음을 이용합니다.

  • a>1 일 때, af(x)<ag(x)f(x)<g(x)
  • 0<a<1 일 때, af(x)<ag(x)f(x)>g(x)

(2) 꼴이 반복되는 경우

at=b 로 치환한 후 t 에 대한 부등식을 풉니다. 이때 at>0 이므로 t>0 인지에 주의해야 합니다.

개념 살펴보기

지수함수 y=ax (a>0,a1) 에서

  • a>1 이면 x 의 값이 증가할 때 y 의 값도 증가합니다.
  • 0<a<1 이면 x 의 값이 증가할 때 y 의 값은 감소합니다.

따라서 부등식에서 밑을 같게 한 후 지수를 비교할 때는 부등호의 방향을 주의해야 합니다.

개념 확인 문제

다음 부등식을 푸세요.

  1. 2x+19
  2. (13)2x>(127)2x1

풀이

(1) 주어진 부등식을 변형하면,

2x+132 이므로, x+12 입니다.

즉, x1 입니다.

(2) 주어진 부등식을 변형하면,

(13)2x>(13)2x1

밑이 0<13<1 이므로, 지수의 부등호 방향이 바뀝니다.

즉, 2x<6x3 이므로 4x<3 입니다.

따라서 x>34 입니다.

정답:

  • x1
  • x>34

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