고등수학개념사전 258로그부등식

지수부등식

지수부등식의 풀이

(1) 밑을 같게 할 수 있는 경우

주어진 부등식을 $a^{f(x)}<a^{g(x)}$ 꼴로 변형한 후 다음을 이용합니다.

• $a>1$ 일 때, $a^{f(x)}<a^{g(x)}⟺f(x)<g(x)$
• $0<a<1$ 일 때, $a^{f(x)}<a^{g(x)}⟺f(x)>g(x)$

(2) 꼴이 반복되는 경우

$a^t=b$ 로 치환한 후 $t$ 에 대한 부등식을 풉니다. 이때 $a^t>0$ 이므로 $t>0$ 인지에 주의해야 합니다.

개념 살펴보기

지수함수 $y=a^x$ $(a>0,a\ne 1)$ 에서

• $a>1$ 이면 $x$ 의 값이 증가할 때 $y$ 의 값도 증가합니다.
• $0<a<1$ 이면 $x$ 의 값이 증가할 때 $y$ 의 값은 감소합니다.

따라서 부등식에서 밑을 같게 한 후 지수를 비교할 때는 부등호의 방향을 주의해야 합니다.

개념 확인 문제

다음 부등식을 푸세요.

1. $2^{x+1}\le 9$
2. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}>{\left(\frac{1}{27}\right)}^{2x-1}$

풀이

(1) 주어진 부등식을 변형하면,

$2^{x+1}\le 3^2$ 이므로, $x+1\le 2$ 입니다.

즉, $x\le 1$ 입니다.

(2) 주어진 부등식을 변형하면,

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-1}$

밑이 $0<\frac{1}{3}<1$ 이므로, 지수의 부등호 방향이 바뀝니다.

즉, $2x<6x-3$ 이므로 $-4x<-3$ 입니다.

따라서 $x>\frac{3}{4}$ 입니다.

정답:

• $x\le 1$
• $x>\frac{3}{4}$