개념 257. 지수방정식
1. 지수방정식이란?
다음과 같이 미지수가 지수에 있는 방정식을 지수방정식이라고 해요.
\[ 2^x = 8, \quad 3^{x-1} = 9^x, \quad 4^x + 2^x – 2 = 0 \]2. 지수방정식의 풀이
지수방정식은 다음과 같은 방법으로 풀 수 있어요.
(1) 밑을 같게 할 수 있는 경우
주어진 방정식을 \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) (단, \( a > 0, a \neq 1 \)) 꼴로 변형한 후, 다음을 이용해요.
\[ a^{f(x)} = a^{g(x)} \quad \Longrightarrow \quad f(x) = g(x) \](2) ‘꼴’이 반복되는 경우
\( a^x = t \)로 치환하여 방정식을 풀어요. 이때 \( a^x > 0 \)이므로 \( t > 0 \)임에 주의해야 해요.
(3) 지수가 같은 경우
밑이 같거나 지수가 0임을 이용해서 풀이해요.
\[ a^b = a^c \quad (a > 0, b > 0) \quad \Longrightarrow \quad b = c \quad \text{또는} \quad f(x) = 0 \]개념살펴보기
지수함수 \( y = a^x \) (단, \( a > 0, a \neq 1 \))는 실수 전체에서 양의 실수 전체의 집합으로 대응되므로, 입력이 같으면 항상 출력이 같아요.
즉, 방정식 \( a^x = p \)는 단 하나의 해를 가지며, 이를 이용해 지수방정식을 풀 수 있어요.
(1) 밑을 같게 할 수 있는 경우
다음 방정식을 풀어볼게요.
\[ 2^x = 8 \]여기서 \( 8 = 2^3 \)이므로,
\[ 2^x = 2^3 \]밑이 같으므로, 지수끼리 같아야 해요.
\[ x = 3 \]따라서, \( x = 3 \)이 방정식의 해가 됩니다.
참고: \( 1^x = 1 \)과 같이 지수가 다르더라도 항상 값이 같은 경우, 밑이 1이면 등식이 항상 성립해요.
따라서, \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) (단, \( a > 0 \)) 꼴의 방정식의 해는 \[ f(x) = g(x) \quad \text{또는} \quad a = 1 \]
따라서, \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) (단, \( a > 0 \)) 꼴의 방정식의 해는 \[ f(x) = g(x) \quad \text{또는} \quad a = 1 \]
(2) ‘꼴’이 반복되는 경우
다음 방정식을 풀어볼게요.
\[ 4^x + 2^x – 2 = 0 \]여기서 \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \)로 변형할 수 있어요.
\[ (2^x)^2 + 2^x – 2 = 0 \]이제 \( t = 2^x \)로 치환하면,
\[ t^2 + t – 2 = 0 \]이제 인수분해를 하면,
\[ (t+2)(t-1) = 0 \]따라서 \( t = -2 \) 또는 \( t = 1 \)이지만, \( t = 2^x \)는 항상 양수이므로, \( t = -2 \)는 해가 될 수 없어요.
\[ t = 1 \]즉, \( 2^x = 1 \)이므로,
\[ 2^x = 2^0 \]밑이 같으므로,
\[ x = 0 \]따라서, 이 방정식의 해는 \( x = 0 \)이에요.