특강 256. 지수함수의 특별한 성질
지수함수가 갖는 특별한 성질에 대해 알아볼게요.
지수함수 \( f(x) = a^x \) (단, \( a > 0, a \neq 1 \))에 대해서 다음이 성립해요.
- ① \( f(0) = 1, \quad f(1) = a \)
- ② \( f(p+q) = f(p) f(q) \)
- ③ \( f(p – q) = \frac{f(p)}{f(q)} \)
- ④ \( f(np) = \left(f(p)\right)^n \) (단, \( n \)은 실수)
증명 과정
위의 성질은 지수법칙을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있어요.
- ① \( f(0) = a^0 = 1, \quad f(1) = a^1 = a \)
- ② \( f(p+q) = a^{p+q} = a^p \cdot a^q = f(p) f(q) \)
- ③ \( f(p-q) = a^{p-q} = \frac{a^p}{a^q} = \frac{f(p)}{f(q)} \)
- ④ \( f(np) = a^{np} = (a^p)^n = \left(f(p)\right)^n \)
개념확인문제
지수함수 \( f(x) = 3^x \)에 대하여 옳지 않은 것을 보기에서 골라보세요.
보기
- ㄱ. \( f(1) = 3 \)
- ㄴ. \( f(10) = f(4) f(6) \)
- ㄷ. \( \frac{f(12)}{f(3)} = f(4) \)
- ㄹ. \( f(15) = (f(5))^3 \)
풀이
- ㄱ. \( f(1) = 3^1 = 3 \) → 옳음
- ㄴ. \( f(10) = 3^{10} = 3^{4+6} = 3^4 \cdot 3^6 = f(4) f(6) \) → 옳음
- ㄷ. \( \frac{f(12)}{f(3)} = \frac{3^{12}}{3^3} = 3^{12-3} = 3^9 \), \( f(4) = 3^4 \) 이므로 \( f(4) \neq 3^9 \) → 옳지 않음
- ㄹ. \( f(15) = 3^{15} = (3^5)^3 = (f(5))^3 \) → 옳음
따라서 옳지 않은 것은 ㄷ이에요.