개념 254. 지수함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동
지수함수 \(y = a^x\) (단, \(a > 0\), \(a \neq 1\))의 그래프를 다음과 같이 이동할 수 있어요.
- ① \(x\축\) 방향으로 \(m\)만큼, \(y\축\) 방향으로 \(n\)만큼 평행이동하면 식은 다음과 같아요.
\[ y = a^{x – m} + n \] - ② \(x\축\)에 대하여 대칭이동하면 식은 이렇게 나타나요.
\[ y = a^{-x} \] - ③ \(y\축\)에 대하여 대칭이동하면 식은 다음과 같이 돼요.
\[ y = \left(\frac{1}{a}\right)^x \] - ④ 원점에 대하여 대칭이동하면 식은 이렇게 됩니다.
\[ y = -\left(\frac{1}{a}\right)^x \]
개념살펴보기
지수함수 \(y = a^x\ (a > 0,\ a \neq 1)\)의 그래프를 평행이동하거나 대칭이동한 그래프의 식은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있어요.- \(x\축\) 방향으로 \(m\)만큼, \(y\축\) 방향으로 \(n\)만큼 평행이동하면, \(x\) 대신 \(x – m\), \(y\) 대신 \(y – n\)을 대입하면 돼요.
따라서, 식은 이렇게 나와요.
\[ y = a^{x – m} + n \] - \(x\축\)에 대하여 대칭이동하면 \(y\) 대신 \(-y\)를 대입해서,
\[ y = -a^x \] - \(y\축\)에 대하여 대칭이동하면 \(x\) 대신 \(-x\)를 대입해서,
\[ y = a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^x \] - 원점에 대하여 대칭이동하면 \(x\) 대신 \(-x\), \(y\) 대신 \(-y\)를 대입하여,
\[ y = -a^{-x} = -\left(\frac{1}{a}\right)^x \]
예를 들어볼게요.
함수 \(y = 4 \cdot 2^{x + 2} + 4\)가 있을 때, 이를 조금 다르게 표현하면 이렇게 됩니다.
\[ y = 4 \cdot 2^2 \cdot 2^x + 4 = 16 \cdot 2^x + 4 \] 이 함수는 지수함수 \(y = 2^x\)의 그래프를 \(x\축\) 방향으로 \(-2\)만큼, \(y\축\) 방향으로 \(4\)만큼 평행이동한 그래프예요. 따라서 그래프는 쉽게 그릴 수 있답니다.
[그래프 예시]
지수함수 \(y=2^x\)를 \(x\축\) 방향으로 \(-2\)만큼, \(y\축\) 방향으로 \(4\)만큼 이동한 그래프입니다.
지수함수 \(y=2^x\)를 \(x\축\) 방향으로 \(-2\)만큼, \(y\축\) 방향으로 \(4\)만큼 이동한 그래프입니다.
개념확인문제
다음 식에서 그래프의 평행이동과 대칭이동을 나타내는 식을 구해 보세요.- 함수 \(y = 3^x\)를 \(x\축\) 방향으로 \(3\)만큼, \(y\축\) 방향으로 \(-1\)만큼 평행이동한 그래프의 식은?
- 함수 \(y = 5^x\)를 원점에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은?