개념 253: 지수함수의 성질
지수함수의 주요 성질
지수함수 \( y = a^x \) \((a > 0, a \neq 1)\) 의 성질은 다음과 같아요.
- 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양의 실수 전체의 집합이에요.
- \( a > 1 \)일 때, \( x \)의 값이 증가하면 \( y \) 값도 증가해요.
- \( 0 < a < 1 \)일 때, \( x \)의 값이 증가하면 \( y \) 값은 감소해요.
- 일대일 함수예요.
- 그래프는 점 \( (0,1) \)을 지나고, \( x \)-축을 점근선으로 가져요.
개념 살펴보기
아래 표는 지수함수 \( y = 2^x \) 와 \( y = (\frac{1}{2})^x \) 의 성질을 비교한 것이에요.
함수 | \( y = 2^x \) | \( y = (\frac{1}{2})^x \) |
---|---|---|
정의역 | 실수 전체의 집합 | 실수 전체의 집합 |
치역 | 양의 실수 전체의 집합 | 양의 실수 전체의 집합 |
증가/감소 | \( x \)가 증가하면 \( y \)도 증가 | \( x \)가 증가하면 \( y \)는 감소 |
일대일 함수 여부 | 일대일 함수 | 일대일 함수 |
그래프가 \( y \)-축과 만나는 점 | \( (0,1) \) | \( (0,1) \) |
그래프의 점근선 | \( x \)-축 | \( x \)-축 |
개념 확인 문제
다음 지수함수의 성질을 확인해보세요.
- \( y = 5^x \) 는 증가하는 함수인가요?
- \( y = (\frac{1}{5})^x \) 는 감소하는 함수인가요?
풀이
- \( y = 5^x \) 는 \( x \)가 증가할수록 \( y \) 값이 증가하므로 증가하는 함수예요.
- \( y = (\frac{1}{5})^x \) 는 \( x \)가 증가할수록 \( y \) 값이 감소하므로 감소하는 함수예요.