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고등수학개념사전 253지수함수의 성질

지수함수의 성질

개념 253: 지수함수의 성질

지수함수의 주요 성질

지수함수 \( y = a^x \) \((a > 0, a \neq 1)\) 의 성질은 다음과 같아요.

  • 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양의 실수 전체의 집합이에요.
  • \( a > 1 \)일 때, \( x \)의 값이 증가하면 \( y \) 값도 증가해요.
  • \( 0 < a < 1 \)일 때, \( x \)의 값이 증가하면 \( y \) 값은 감소해요.
  • 일대일 함수예요.
  • 그래프는 점 \( (0,1) \)을 지나고, \( x \)-축을 점근선으로 가져요.

개념 살펴보기

아래 표는 지수함수 \( y = 2^x \) 와 \( y = (\frac{1}{2})^x \) 의 성질을 비교한 것이에요.

함수 \( y = 2^x \) \( y = (\frac{1}{2})^x \)
정의역 실수 전체의 집합 실수 전체의 집합
치역 양의 실수 전체의 집합 양의 실수 전체의 집합
증가/감소 \( x \)가 증가하면 \( y \)도 증가 \( x \)가 증가하면 \( y \)는 감소
일대일 함수 여부 일대일 함수 일대일 함수
그래프가 \( y \)-축과 만나는 점 \( (0,1) \) \( (0,1) \)
그래프의 점근선 \( x \)-축 \( x \)-축

개념 확인 문제

다음 지수함수의 성질을 확인해보세요.

  • \( y = 5^x \) 는 증가하는 함수인가요?
  • \( y = (\frac{1}{5})^x \) 는 감소하는 함수인가요?

풀이

  • \( y = 5^x \) 는 \( x \)가 증가할수록 \( y \) 값이 증가하므로 증가하는 함수예요.
  • \( y = (\frac{1}{5})^x \) 는 \( x \)가 증가할수록 \( y \) 값이 감소하므로 감소하는 함수예요.

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