개념 253: 지수함수의 성질

지수함수의 주요 성질

지수함수 \( y = a^x \) \((a > 0, a \neq 1)\) 의 성질은 다음과 같아요.

• 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양의 실수 전체의 집합이에요.
• \( a > 1 \)일 때, \( x \)의 값이 증가하면 \( y \) 값도 증가해요.
• \( 0 < a < 1 \)일 때, \( x \)의 값이 증가하면 \( y \) 값은 감소해요.
• 일대일 함수예요.
• 그래프는 점 \( (0,1) \)을 지나고, \( x \)-축을 점근선으로 가져요.

개념 살펴보기

아래 표는 지수함수 \( y = 2^x \) 와 \( y = (\frac{1}{2})^x \) 의 성질을 비교한 것이에요.

함수	\( y = 2^x \)	\( y = (\frac{1}{2})^x \)
정의역	실수 전체의 집합	실수 전체의 집합
치역	양의 실수 전체의 집합	양의 실수 전체의 집합
증가/감소	\( x \)가 증가하면 \( y \)도 증가	\( x \)가 증가하면 \( y \)는 감소
일대일 함수 여부	일대일 함수	일대일 함수
그래프가 \( y \)-축과 만나는 점	\( (0,1) \)	\( (0,1) \)
그래프의 점근선	\( x \)-축	\( x \)-축

개념 확인 문제

다음 지수함수의 성질을 확인해보세요.

• \( y = 5^x \) 는 증가하는 함수인가요?
• \( y = (\frac{1}{5})^x \) 는 감소하는 함수인가요?

풀이

• \( y = 5^x \) 는 \( x \)가 증가할수록 \( y \) 값이 증가하므로 증가하는 함수예요.
• \( y = (\frac{1}{5})^x \) 는 \( x \)가 증가할수록 \( y \) 값이 감소하므로 감소하는 함수예요.