개념 251: 지수함수

지수함수의 정의

\( a > 1 \)이 아닌 양수일 때, 실수 \( x \)에 대하여 \( a^x \)의 값은 하나로 정해져요. 따라서 함수 \( y = a^x \) \((a > 0, a \neq 1)\) 는 지수함수라고 해요.

개념 살펴보기

지수의 범위를 실수까지 확장하면, 모든 실수 \( x \)에 대해 \( 2^x \) 값은 하나로 존재해요. 예를 들어, 실수 \( x \)에 대응하는 \( 2^x \) 값을 살펴보면 다음과 같아요.

\( x \)	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5
\( 2^x \)	\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)	\( \frac{1}{2} \)	\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)	1	\( \sqrt{2} \)	2	\( 2\sqrt{2} \)

위의 표에서 볼 수 있듯이 모든 실수 \( x \)에 대해 \( 2^x \) 값은 단 하나만 존재해요. 따라서 \( y = 2^x \) 는 함수임을 확인할 수 있어요.

개념 확인 문제 1

지수함수인 것만 보기에서 골라보세요.

• ㄱ. \( y = 5^x \)
• ㄴ. \( y = 0.4^x \)
• ㄷ. \( y = x^3 \)
• ㄹ. \( y = \frac{1}{3^x} \)

풀이

• ㄱ. \( y = 5^x \) 는 5를 밑으로 하는 지수함수예요.
• ㄴ. \( y = 0.4^x \) 는 0.4를 밑으로 하는 지수함수예요.
• ㄷ. \( y = x^3 \) 는 지수함수가 아니에요.
• ㄹ. \( y = \frac{1}{3^x} \) 는 \( y = (\frac{1}{3})^x \) 로 볼 수 있으며 지수함수예요.

따라서, 지수함수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ 입니다.

개념 확인 문제 2

지수함수 \( f(x) = 3^x \) 에 대해 다음을 구해보세요.

• \( f(2) \)
• \( f(-3) \)
• \( f(\frac{1}{2}) \)

풀이

• \( f(2) = 3^2 = 9 \)
• \( f(-3) = 3^{-3} = \frac{1}{27} \)
• \( f(\frac{1}{2}) = 3^{1/2} = \sqrt{3} \)