개념 247: 로그의 성질 (2)

\( a > 0, a \neq 1, b > 0 \)일 때, 다음이 성립해요.

• \( \log_b b \cdot \log_b a = 1 \) (단, \( b \neq 1 \))
• \( \log_a b^m = \frac{n}{m} \log_a b \) (단, \( m \neq 0 \))
• \( a^{\log_b c} = b^{\log_a c} \) (단, \( c > 0, c \neq 1 \))

개념 살펴보기

로그의 성질을 증명해볼게요.

1. 로그의 밑의 변환 공식을 이용하면 \( \log_b b \cdot \log_b a = \log_b a \cdot \frac{1}{\log_a b} = 1 \)이 성립해요.
2. 로그의 밑의 변환 공식을 이용하면 \( \log_a b^m = \frac{m \log_b b}{m \log_b a} = \frac{n}{m} \log_a b \)이 성립해요.
3. \( x = a^{\log_b c} \)로 놓고 양변에 \( a \)를 밑으로 하는 로그를 취하면 \( \log_a x = \log_a b^{\log_a c} \)이에요.
   지수법칙을 이용하면 \( \log_a x = \log_a b \cdot \log_a c \)이므로, \( x = b^{\log_a c} \)이 성립해요.

개념 확인 문제

다음 값을 구해보세요.

1. \( \log_2 9 \cdot \log_3 8 \)
2. \( \log_2 3^{10} \cdot \log_3 4^{3} \)
3. \( 4^{\log_5 5} \)

풀이

1. \( \log_2 9 \cdot \log_3 8 = \log_2 3^2 \cdot \log_3 2^3 = 2 \log_2 3 \cdot 3 \log_3 2 = 6 \)
2. \( \log_2 3^{10} \cdot \log_3 4^3 = \frac{10}{3} \log_2 3 \cdot \frac{3}{5} \log_3 4 = 2 \log_2 3 \cdot \log_3 2 = 4 \)

개념 확인 문제

다음 값을 구해보세요.

1. \( \log_2 5 \cdot \log_2 4 \)
2. \( \frac{1}{\log_3 3} – \log_3 4 \)

풀이

1. \( \log_2 5 \cdot \log_2 4 = \frac{\log_5}{\log_2} \cdot \frac{\log_4}{\log_2} = \frac{\log_5}{\log_2} \cdot \frac{\log_2}{\log_4} = 1 \)
2. \( \frac{1}{\log_3 3} – \log_3 4 = \frac{\log_3 4}{\log_3 3} – \log_3 4 = 1 \)