개념 246: 로그의 밑의 변환 공식

\( a > 0, a \neq 1, b > 0, b \neq 1 \)일 때, 다음이 성립해요.

• \( \log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a} \) (단, \( N > 0 \))
• \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)

개념 살펴보기

일반적으로 \( \log_b N \)에서 밑을 \( a \)가 아닌 다른 숫자로 바꾸고자 할 때 밑의 변환 공식을 이용해요. 이 공식을 유도해 볼게요.

\( \log_a N = x \)라고 하면, 로그의 정의에 의해 \( a^x = N \)이에요. 양변에 밑을 \( b \)로 하는 로그를 취하면

\[ \log_b (a^x) = \log_b N \]

지수법칙에 의해 \( x \log_b a = \log_b N \)이므로 양변을 \( \log_b a \)로 나누면

\[ x = \frac{\log_b N}{\log_b a} \]

따라서 \( \log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a} \)이 성립해요.

또한, \( N = b \)로 놓으면 \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)이라는 성질도 얻을 수 있어요.

개념 확인 문제

다음 값을 구해보세요.

1. \( \log_2 5 \cdot \log_2 4 \)
2. \( \frac{1}{\log_3 3} – \log_3 4 \)

풀이

1. \( \log_2 5 \cdot \log_2 4 = \frac{\log_5}{\log_2} \cdot \frac{\log_4}{\log_2} = \frac{\log_5}{\log_2} \cdot \frac{\log_2}{\log_4} = 1 \)
2. \( \frac{1}{\log_3 3} – \log_3 4 = \frac{\log_3 4}{\log_3 3} – \log_3 4 = 1 \)